5.4 平面向量的應(yīng)用,考綱要求:1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題. 2.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.,1.向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行或點共線問題,常用共線向量定理:ab(b0)a=bx1y2-x2y1=0 . (2)證明垂直問題,常用數(shù)量積的運算性質(zhì)aba·b=0x1x2+y1y2=0 (a,b均為非零向量). (3)求夾角問題,利用夾角公式 (為a與b的夾角). 2.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 對于向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目,其解題思路是用向量運算進行轉(zhuǎn)化,化歸為三角函數(shù)問題或三角恒等變形等問題或解三角形問題.,3.向量在解析幾何中的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用,主要是以向量的數(shù)量積給出一種條件,通過向量轉(zhuǎn)化,進而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系等相關(guān)知識來解答. 4.向量在物理中的應(yīng)用 物理學中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識來解決某些物理問題;物理學中的功是一個標量,是力F與位移s的數(shù)量積,即W=|F|s|cos (為F與s的夾角).,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“×”. (3)在四邊形ABCD中, ,則四邊形ABCD是矩形. ( ) (4)解析幾何中的坐標、直線平行、垂直、長度等問題都可以用向量解決. ( ) (5)實現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標運算. ( ),×,×,1,2,3,4,5,2.若 ,則ABC必定是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,1,2,3,4,5,3.設(shè)x,yR,i,j是直角坐標平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j,且|a|+|b|=6,則點M(x,y)的軌跡是( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.線段 D.射線,答案,解析,1,2,3,4,5,4.平面上三個力F1,F2,F3作用于一點且處于平衡狀態(tài).已知|F1|=1 N,|F2|=2 N,F1,F2成120°角,則F1與F3所成的角為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.平面上有三個點A(-2,y),B ,C(x,y),若 ,則動點C的軌跡方程為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點評 1.向量兼具代數(shù)的抽象與嚴謹和幾何的直觀,向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物.在利用向量解決問題時,要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合. 2.要注意變換思維方式,能從不同角度看問題,要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1向量在平面幾何中的應(yīng)用 例1(1)在ABC中, ,則AB邊的長度為( ) A.1 B.3 C.5 D.9,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:用平面向量解決平面幾何問題一般有哪些方法? 解題心得:用平面向量解決平面幾何問題時,有兩種方法:基向量法和坐標系法,建立平面直角坐標系時一般利用已知的垂直關(guān)系,或使較多的點落在坐標軸上,這樣便于迅速解題.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練1 (1)(2015安徽六安模擬)已知非零向量 滿 足 ,則ABC為( ) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)在平行四邊形ABCD中,AD=1,BAD=60°,E為CD的中點.若 ,則AB的長為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路是什么? 解題心得:利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路: (1)求三角函數(shù)值,一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解. (2)求三角函數(shù)性質(zhì)問題,通常是利用向量轉(zhuǎn)化后化歸為二次函數(shù)或一個角的一個三角函數(shù),利用角的范圍求解. (3)求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,先求值再求角. (4)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3向量在解析幾何中的應(yīng)用,例3(2015課標全國,文20)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點. (1)求k的取值范圍; (2)若 ,其中O為坐標原點,求|MN|.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:在向量與解析幾何相結(jié)合的題目中,向量起到怎樣的作用? 解題心得:向量在解析幾何中的作用: (1)載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導出曲線上點的坐標之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. (2)工具作用:利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問題.特別地,向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練3 已知平面上一定點C(2,0)和直線l:x=8,P為該平面上一動點,作PQl,垂足為Q,且 (1)求動點P的軌跡方程; (2)若EF為圓N:x2+(y-1)2=1的任一條直徑,求 的最值.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有: 2.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題,關(guān)鍵是準確利用向量的坐標運算化簡已知條件,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決. 3.解決向量與解析幾何的綜合問題,可將向量用點的坐標表示,利用向量運算及性質(zhì)轉(zhuǎn)化為解析幾何問題. 4.向量中有關(guān)最值問題的求解思路:一是“形化”,利用向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題;二是“數(shù)化”,利用平面向量的坐標運算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的解集、方程有解等問題.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系,兩者并不等價. 2.注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系.,答題模板:利用向量解三角形問題的一般步驟為: 第一步:分析題中條件,觀察題中向量和三角形的聯(lián)系; 第二步:脫去“向量外衣”,利用數(shù)量積將已知條件轉(zhuǎn)化成三角形中的邊角關(guān)系; 第三步:利用正弦定理或余弦定理解三角形; 第四步:反思回顧,檢查所得結(jié)果是否符合題意.,