,第五章 平面向量與復(fù)數(shù),1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 2體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算 4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角 5會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,請注意 這部分知識是向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長度是向量的數(shù)量特征，是必考的重要內(nèi)容之一,(2)a與b的夾角為 度時，叫ab. (3)若a與b的夾角為，則a·b . (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·b . (5)a在b的方向上的投影為 .,AOB,90,0°180°,|a|·|b|cos,x1x2y1y2,|a|cos,x1x2y1y20,x1y2x2y10,2數(shù)量積滿足的運算律 已知向量a，b，c和實數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律： (1)a·b . (2)(a)·b(a·b) (3)(ab)·c .,b·a,a·(b),a·cb·c,3注意 (1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù) 0·a0(實數(shù))而0·a0. (2)數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a·b)·ca·(b·c) (3)a·b中的“·”不能省略,1判斷下面結(jié)論是否正確(打“”或“×”) (1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量 (2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的結(jié)果是向量,答案 (1) (2) (3)× (4) (5)×,2已知|a|6，|b|3，a·b12，則向量a在向量b方向上的投影是( ) A4 B4 C2 D2 答案 A,答案 10,5(2015·東北三校聯(lián)考)已知向量a，b的夾角為60°，且|a|2，|b|1，則向量a與向量a2b的夾角等于( ) A150° B90° C60° D30° 答案 D,例1 (1)已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a與b的夾角為30°，分別求a·b. 【思路】 根據(jù)非零向量數(shù)量積的定義直接求解即可，只需確定其夾角.,題型一 平面向量的數(shù)量積的運算,【解析】 當(dāng)ab時，若a與b同向，則它們的夾角為0°. a·b|a|b|cos0°2×5×110. 若a與b反向，則它們的夾角為180°. a·b|a|b|cos180°2×5×(1)10. 當(dāng)ab時，它們的夾角為90°. a·b|a|b|cos90°2×5×00.,【答案】 25,探究1 (1)求平面向量數(shù)量積的步驟是： 求a與b的夾角，0°，180°； 分別求|a|和|b|； 求數(shù)量積，即a·b|a|b|cos，若知道向量的坐標(biāo)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則求數(shù)量積時用公式a·bx1x2y1y2計算 (2)注意共線時0°或180°，垂直時90°，三種特殊情況,已知a，b的夾角為120°，且|a|4，|b|2，求： (1)(a2b)·(ab)； (2)|ab|； (3)|3a4b|.,思考題1,題型二 向量的夾角,【答案】 C,【答案】 B,(1)已知向量a，b滿足(a2b)·(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_,思考題2,(2)(2014·四川文)若平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m( ) A2 B1 C1 D2,【答案】 D,題型三 向量的模,【答案】 B,(2)已知向量a，b滿足|a|6，|b|4，且a與b的夾角為60°，求|ab|和|a3b|. 【思路】 本例題介紹兩種求向量模的方法： 利用|ab|2(ab)·(ab)；構(gòu)造模型，利用向量的加法和減法求模,(1)已知單位向量e1，e2的夾角為60°，則|2e1e2|_.,思考題3,【答案】 C,題型四 平行與垂直,探究4 平行與垂直問題是一個重要的知識點，在高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別若a(a1，a2)，b(b1，b2)，則aba1b1a2b20，aba1b2a2b10.,(1)設(shè)平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，則|3ab|_.,思考題3,1記憶向量的數(shù)量積公式應(yīng)從兩個方面： 定義，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式 2向量的數(shù)量積應(yīng)用廣泛，可用于求角、求長度、證垂直等問題 3注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，如加、減運算的幾何意義，數(shù)量積的幾何意義投影,1關(guān)于平面向量a，b，c，有下列五個命題： 若a·ba·c，則bc； |a·b|a|·|b|ab； ab|ab|ab|； |a|b|a·c|b·c|； 若非零向量a和b滿足|a|b|ab|，則a與ab的夾角為60°. 其中真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號) 答案 ,解析 由數(shù)量積定義a·b|a|·|b|·cos，若a·ba·c， 則|a|·|b|cos|a|·|c|cos. |b|·cos|c|cos， 即只要b和c在a上的投影相等， 則a·ba·c. 中a·b|a|·|b|cos，由|a·b|a|·|b|及a，b為非零向量可得|cos|1，0或，ab且以上各步均可逆，故命題是真命題,中當(dāng)ab時，將向量a，b的起點確定在同一點，則以向量a，b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對角線長相等即有|ab|ab|.反過來，若|ab|ab|，則以a，b為鄰邊的四邊形為矩形，所以有ab，因此命題是真命題 中當(dāng)|a|b|但a與c的夾角和b與c的夾角不等時，就有|a·c|b·c|，反過來由|a·c|b·c|也推不出|a|b|.故命題是假命題,失分警示 解決向量問題常常要數(shù)形結(jié)合，a·b等于|a|乘以b在a方向上的投影，或等于|b|乘以a在b方向上的投影,2已知兩個非零向量a，b，滿足|ab|ab|，則下面結(jié)論正確的是( ) Aab Bab C|a|b| Dabab 答案 B 解析 由|ab|ab|，兩邊平方并化簡，得a·b0.又a，b都是非零向量，所以ab.,答案 A,答案 A,解析 由條件可得(ab)2 10，(ab)26，兩式相減，得4a·b4，所以a·b1.,有關(guān)數(shù)量積的最值問題,【答案】 2,【答案】 D,【答案】 A,【答案】 2,【答案】 2,5,