8.2 空間幾何體的表面積與體積,考綱要求:1.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積的計(jì)算公式. 2.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的體積的計(jì)算公式.,1.柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積,2.幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和 . (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形 、扇形 、 扇環(huán)形 ;它們的表面積等于側(cè)面積 與底面面積之和.,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”. (1)圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2S. ( ) (2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為3a2. ( ) (3)若一個(gè)球的體積為 ,則它的表面積為12. ( ) (4)長方體既有外接球,又有內(nèi)切球. ( ) (5)將圓心角為 ,面積為3的扇形作為圓錐的側(cè)面,則圓錐的表面積等于4. ( ),×,×,×,1,2,3,4,5,2.已知棱長為a,各面均為等邊三角形的四面體S-ABC,它的表面積為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,3.已知某四棱錐,底面是邊長為2的正方形,且俯視圖如圖所示.若該四棱錐的左視圖為直角三角形,則它的體積為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,4.若某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的表面積是 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC為直角三角形,ACB=90°,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn),則CP+PA1的最小值為 (其中PA1表示P,A1兩點(diǎn)沿棱柱的表面距離).,答案,解析,1,2,3,4,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.求多面體的表面積,應(yīng)找到其特征幾何圖形,它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素的橋梁.求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)需要將曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面積之和. 2.求幾何體的體積,要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1空間幾何體的表面積 例1(2015課標(biāo)全國,文11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:根據(jù)三視圖求幾何體的表面積的關(guān)鍵是什么? 解題心得:1.根據(jù)三視圖求幾何體的表面積,關(guān)鍵在于根據(jù)三視圖還原幾何體,要掌握常見幾何體的三視圖,并且要弄明白幾何體的尺寸跟三視圖尺寸的關(guān)系;有時(shí)候還可以利用外部補(bǔ)形法,將幾何體補(bǔ)成長方體或者正方體等常見幾何體. 2.求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí),通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體,先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積,再通過求和或作差求得幾何體的表面積.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,例2(2015山東,文9)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:求旋轉(zhuǎn)體的體積的關(guān)鍵是什么? 解題心得:1.求旋轉(zhuǎn)體體積的關(guān)鍵是弄清所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征,確定得到計(jì)算體積所需要的幾何量. 2.計(jì)算柱、錐、臺(tái)的體積的關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高. 3.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法,應(yīng)熟練掌握.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 (2015浙江,文2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3與球有關(guān)的切、接問題(多維探究) 類型一 直三棱柱的外接球 例3已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,則球O的半徑為( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,類型二 正方體的外接球 例4已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,如果該組合體的主視圖、左視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,類型三 正四面體的內(nèi)切球 例5若一個(gè)正四面體的表面積為S1,其內(nèi)切球的表面積為S2,則 = .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,類型四 四棱錐的外接球 例6四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,該四棱錐的三視圖如圖所示,E,F分別是棱AB,CD的中點(diǎn),直線EF被球面所截得的線段長為 ,則該球的表面積為( ) A.9 B.3 C. D.12,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,解題心得:解決球與其他幾何體的切、接問題,關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析,弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系),達(dá)到空間問題平面化的目的.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 (1)(2015課標(biāo)全國,文10)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為 ( ) A.36 B.64 C.144 D.256,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)(2016河北衡水冀州中學(xué)高三(上)期末)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱和底面垂直,且所有棱長都相等,若該三棱柱的各頂點(diǎn)都在球O的表面上,且球O的表面積為7,則此三棱柱的體積為_.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上, 三棱柱為正三棱柱,且其中心為球的球心,設(shè)為O,再設(shè)球的半徑為r.,由球O的表面積為7,得4r2=7,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決. 2.求三棱錐的體積時(shí),要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面. 3.與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.求組合體的表面積時(shí),組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò). 2.由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí),避免由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致錯(cuò)誤. 3.分清側(cè)面積與表面積的概念,避免因概念不清出錯(cuò).,思想方法轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用 空間幾何體的三視圖與體積、表面積結(jié)合命題是高考的熱點(diǎn),旨在考查學(xué)生的識(shí)圖、用圖能力及空間想象能力與運(yùn)算能力.若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法(轉(zhuǎn)換的原則是使底面面積和高易求)、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解. 典例如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1-EDF的體積為 .,