,第八章 立體幾何,1了解空間向量的概念了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示 2掌握空間向量的線性運算及其坐標表示 3掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直,請注意 縱觀近幾年的高考試題，對空間向量部分的考查主要集中于空間向量的概念和運算的考查，部分用空間向量知識來解的題目也可以不建空間直角坐標系，而直接使用線性運算，充分發(fā)揮空間向量基本定理的作用總體來看，高考對空間向量更多地考查其工具性作用,1把空間中具有 和 的量叫向量 2(1)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是 . (2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使 .,大小,方向,存在實數(shù)，使ab,pxayb,3空間向量基本定理 如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使 .,pxaybzc,4兩個向量的數(shù)量積 (1)非零向量a，b的數(shù)量積： (2)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： a·e ； ab ； |a|2 . (3)向量的數(shù)量積滿足如下運算律： (·a)·b ； a·b (交換律)； a·(bc) (分配律),a·b|a|b|cosa，b,|a|cosa，e，e為單位向量,a·b0,a·a,(a·b),b·a,a·ba·c,5空間向量的直角坐標運算 設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則 ab ； ab ； a·b ，特殊地a·a_；,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),a1b1a2b2a3b3,ab ；,a1b1，a2b2，a3b3(R，b0),ab ； A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，,a1b1a2b2a3b30(a0，b0),(x2，y2，z2)(x1，y1，z1),(x2x1，y2y1，z2z1),6向量a與b的夾角 設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則 cosa，b .,1判斷下面結(jié)論是否正確(打“”或“×”) (1)空間中任意兩非零向量a，b共面 (2)在向量的數(shù)量積運算中(a·b)·ca·(b·c) (3)對于非零向量b，若a·bb·c，則ac. (4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同,答案 (1) (2)× (3)× (4)× (5) (6)×,答案 C,4已知四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，則點D的坐標為_ 答案 (5,13，3),題型一 空間向量的線性運算,【思路】 根據(jù)空間向量加減法及數(shù)乘運算的法則和運算律即可,探究1 確定要表示的向量的終點是否是三角形邊的中點，若是，利用平行四邊形法則即可若不是，利用封閉圖形，尋找到所要表示的向量所對應的線段為其一邊的一個封閉圖形，利用這一圖形中欲求向量與已知向量所在線段的聯(lián)系，進行相應的向量運算是處理此類問題的基本技巧一般地，可以找到的封閉圖形不是唯一的，但無論哪一種途徑結(jié)果應是唯一的,思考題1,題型二 空間向量的共線、共面問題,【答案】 (1)略 (2)略 (3)略,探究2,思考題2,【答案】 A,【答案】 共面 點M在平面ABC內(nèi),題型三 空間向量的數(shù)量積,(4)ab(0,1,2)，ab(2,1，2)， (ab)(ab)(2，22) (ab)(ab)·(0,0,1)220， 即當，滿足關(guān)系0時，可使(ab)(ab)與z軸垂直,探究3 利用空間向量的坐標運算解題是高考立體幾何大題的必考內(nèi)容，而尋求三條兩兩互相垂直的直線建立空間直角坐標系是解題的突破口,已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5),思考題3,例4 如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°. (1)求AC1的長； (2)求BD1與AC夾角的余弦值,如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點 (1)求證：MNAB，MNCD； (2)求MN的長； (3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值,思考題4,1向量的分解是用空間向量證明有關(guān)問題的常用方法，分解的依據(jù)是向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積，而與之相聯(lián)系的是線段的倍(分)關(guān)系,