,第八章 立體幾何,1能夠運(yùn)用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行或垂直 2理解直線的方向向量與平面的法向量 3能用向量方法解決線面、面面的垂直與平行問(wèn)題，體會(huì)向量方法在立體幾何中的作用,請(qǐng)注意 本節(jié)知識(shí)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，著重考查線線、線面、面面的平行與垂直，考查以選擇題、填空題形式，出現(xiàn)時(shí)靈活多變，以解答題出現(xiàn)時(shí)，往往綜合性較強(qiáng)屬于中檔題,1直線的方向向量 就是指和這條直線所對(duì)應(yīng)向量 (或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量可以有 個(gè),平行,無(wú)數(shù)多,2平面的法向量 (1)所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個(gè)平面的法向量也有 ，它們是_向量 (2)在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的平面是 確定的,無(wú)數(shù)多個(gè),共線,唯一,3直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用 直線l1的方向向量u1(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為u2(a2，b2，c2) 如果l1l2，那么u1u2 如果l1l2，那么u1u2 . 直線l的方向向量為u(a1，b1，c1)，平面的法向量為n(a2，b2，c2) 若l，則unu·n0 ； 若l，則unukn ；,(a1，b1，c1)(a2，b2，c2),a1a2b1b2c1c20,a1a2b1b2c1c20,(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2),平面1的法向量為u1(a1，b1，c1)，平面2 的法向量為u2(a2，b2，c2) 若12，則u1u2u1ku2_ 若12，則u1u2u1·u20 .,(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2),a1a2b1b2c1c20,1已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，則下列結(jié)論正確的是( ) Aac，bc Bab，ac Cac，ab D以上都不對(duì) 答案 C,2若兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是( ) A平行 B相交 C垂直 D不確定 答案 A 解析 v22v1，l1l2.,3若平面，垂直，則下面可以作為這兩個(gè)平面的法向量的是( ) An1(1,2,1)，n2(3,1,1) Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1) Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1) Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2) 答案 A,4已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1，1,2)，平面的一個(gè)法向量是n(6，3,6)，則下列點(diǎn)P在平面內(nèi)的是( ) AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4) 答案 A,答案 C,6若平面，的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則( ) A B C，相交但不垂直 D以上均不正確 答案 C,例1 (1)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點(diǎn)，證明：PQRS.,題型一 證明平行關(guān)系,(2)在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，且PDDC，E是PC的中點(diǎn)，求證：PA平面EBD.,(3)在正方體AC1中，M，N，E，F(xiàn)分別是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面AMN平面EFDB.,【答案】 (1)略 (2)略 (3)略,探究1 (1)證明線線平行是證明線面平行和面面平行的基礎(chǔ)，要證線線平行，只需證明相應(yīng)的向量共線即可 (2)解決此類問(wèn)題的依據(jù)還是要根據(jù)線面平行的判定定理，可證直線方向向量與面內(nèi)一向量平行，也可證直線方向向量與平面法向量垂直 (3)證明面面平行時(shí)，可以通過(guò)面面平行的判定定理，也可以用兩個(gè)平面的法向量互相平行來(lái)證,(1)如圖所示，在長(zhǎng)方體OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，點(diǎn)P在棱AA1上，且AP2PA1，點(diǎn)S在棱BB1上，且SB12BS，點(diǎn)Q，R分別是O1B1，AE的中點(diǎn)，求證：PQRS.,思考題1,(2)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)求證：MN平面A1BD.,【答案】 (1)略 (2)略,例2 (1)已知空間四邊形OABC中，M為BC中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，P為OA中點(diǎn)，Q為OB中點(diǎn)，若ABOC.求證：PMQN.,題型二 證明垂直關(guān)系,(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：BD1平面ACB1.,(3)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，求證：平面DEA平面A1FD1.,【答案】 (1)略 (2)略 (3)略,探究2 (1)要證明兩線垂直，需轉(zhuǎn)化為兩線對(duì)應(yīng)的向量垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎(chǔ) (2)證明線面垂直，可利用判定定理如本題解法，也可證明此直線與平面的法向量共線 (3)用向量證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量，把證明面面垂直轉(zhuǎn)化為法向量垂直,如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90°，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD. (1)求證：PABD； (2)求證：平面PAD平面PAB.,思考題2,【思路】 空間中各元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系其核心是線與線的關(guān)系，線與線的關(guān)系完全可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示，從而為向量在立體幾何中的應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)考慮到面PBC面ABCD及PCPB，故可取BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OP為z軸，OB為x軸,【答案】 (1)略 (2)略,題型三 探究性問(wèn)題,探究3 (1)證明線面平行須證明線線平行，只需證明這條直線與平面內(nèi)的直線的方向向量平行可用傳統(tǒng)法也可用向量法用向量法更為普遍 (2)證明線面垂直的方法：可用直線的方向向量與平面的法向量共線證明；也可用直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直證明 (3)證明面面垂直通常轉(zhuǎn)化為證線面垂直，也可用兩平面的法向量垂直來(lái)證明,(2015·衡水調(diào)研卷)如圖所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱A1A2. (1)證明：ACA1B；,思考題3,【答案】 (1)略 (2)點(diǎn)P不存在,用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題,