6.2 等差數(shù)列及其前n項和,考綱要求:1.理解等差數(shù)列的概念. 2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式. 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.,1.等差數(shù)列 (1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的差是同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就為等差數(shù)列,這個常數(shù)為等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示. (2)數(shù)學(xué)語言:an+1-an=d(nN+,d為常數(shù)),或an-an-1=d(n2,d為常數(shù)). (3)等差中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的等差中項,即 . 2.等差數(shù)列的通項公式 (1)通項公式:若等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d . (2)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d (m,nN+).,5.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 (2)數(shù)列an是等差數(shù)列Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)). 6.等差數(shù)列的前n項和的最值 在等差數(shù)列an中,a10,d0,則Sn存在最小值.,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“×”. (1)若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列. ( ) (2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù). ( ) (3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN+,都有2an+1=an+an+2. ( ) (4)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. ( ) (5)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù). ( ),×,×,×,1,2,3,4,5,2.在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6=( ) A.-1 B.0 C.1 D.6,答案,解析,1,2,3,4,5,3.(2015課標(biāo)全國,文5)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11,答案,解析,1,2,3,4,5,4.(2015陜西,文13)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項為2 015,則該數(shù)列的首項為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.在小于100的正整數(shù)中,被7除余2的數(shù)的和為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點評 1.用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列,要注意定義中的三個關(guān)鍵詞:“從第2項起”“每一項與它的前一項的差”“同一個常數(shù)”. 2.等差數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別:當(dāng)公差d0時,等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù);當(dāng)公差d=0時,an為常數(shù). 3.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0. 4.等差數(shù)列的前n項和公式有兩種表達形式,要根據(jù)題目給出的條件判斷使用哪一種表達形式.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1等差數(shù)列中基本量的求解 例1(1)(2015課標(biāo)全國,文7)已知an是公差為1的等差數(shù)列,Sn為an的前n項和.若S8=4S4,則a10= ( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案:C,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:求等差數(shù)列基本量的一般方法是什么? 解題心得:1.等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解. 2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩個,體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想. 3.減少運算量的設(shè)元的技巧,若三個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)三個數(shù)為a-d,a,a+d;若四個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練1 (1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點2等差數(shù)列的判定與證明 例2數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)設(shè)bn=an+1-an,證明bn是等差數(shù)列; (2)求an的通項公式.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:判斷一個數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法有哪些? 解題心得:1.等差數(shù)列的四種判斷方法: (1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))an是等差數(shù)列. (2)等差中項法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差數(shù)列. (3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列. (4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))an是等差數(shù)列. 2.若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練2 若數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n2),a1= . (1)求證: 成等差數(shù)列; (2)求數(shù)列an的通項公式.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點3等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(多維探究) 類型一 等差數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用 例3在等差數(shù)列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8= . 思考:本例題只有一個已知條件,如何快捷地求出結(jié)果?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,類型二 等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用 例4在等差數(shù)列an中,前m項的和為30,前2m項的和為100,則前3m項的和為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:本例題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡便? 解題心得:1.利用等差數(shù)列項的性質(zhì)解決基本量的運算體現(xiàn)了整體求值思想,應(yīng)用時常將an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN*)與am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN+)相結(jié)合,可減少運算量. 2.在等差數(shù)列an中,依據(jù)題意應(yīng)用其前n項和的性質(zhì)解題能比較簡便地求出結(jié)果,常用的性質(zhì)有:在等差數(shù)列an中,數(shù)列Sm, 也是等差數(shù)列,且有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1); .,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練3 (1)(2015廣州模擬)等差數(shù)列an前17項和S17=51,則a5-a7+a9-a11+a13等于( ) A.3 B.6 C.17 D.51,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)已知等差數(shù)列an的前四項和為124,后四項和為156,各項和為210,則此等差數(shù)列的項數(shù)是 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(3)已知在等差數(shù)列an中,其前n項和為Sn,S3=9,S6=36,則a7+a8+a9= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點4等差數(shù)列前n項和的最值問題 例5在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:求等差數(shù)列前n項和的最值有哪些方法? 解題心得:求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法: (1)函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. (2)鄰項變號法:利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負轉(zhuǎn)折項,當(dāng) a10,d0時,滿足 的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. 利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項,便可求得前n項和的最值.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練4 (1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,則當(dāng)Sn取最大值時,n的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列,Sn為前n項和,若S6=5a1+10d,則Sn取最大值時,n的值為( ) A.5 B.6 C.5或6 D.11,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(3)已知等差數(shù)列an的首項a1=20,公差d=-2,則前n項和Sn的最大值為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,1.等差數(shù)列的判斷方法: (1)定義法; (2)等差中項法; (3)利用通項公式判斷; (4)利用前n項和公式判斷. 2.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù),則該數(shù)列不是等差數(shù)列,它從第2項起成等差數(shù)列. 3.方程思想和化歸思想:在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時,可以考慮化歸為a1和d等基本量,通過建立方程(組)獲得解.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,1.當(dāng)公差d0時,等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù);當(dāng)公差d=0時,an為常數(shù). 2.注意利用“an-an-1=d”時加上條件“n2”;否則,當(dāng)n=1時,a0無定義.,思想方法整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用 整體思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時,通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題,常常能化繁為簡、變難為易,同時又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現(xiàn)形式有:整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補形、整體改造等.在等差數(shù)列中,若要求的Sn所需要的條件未知或不易求出時,可以考慮整體代入.,典例1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3+a4+a5=12,則S7的值為 . 答案:28 解析:設(shè)數(shù)列an的首項為a1,公差為d. a3+a5=2a4, 由a3+a4+a5=12得3a4=12,即a4=4. a1+3d=4,故S7=7a1+ d=7(a1+3d)=7×4=28.,典例2在等差數(shù)列an中,其前n項和為Sn.已知Sn=m,Sm=n(mn),則Sm+n= . 答案:-(m+n) 解析:設(shè)an的公差為d,則由Sn=m,Sm=n,