6.3 等比數(shù)列及其前n項和,考綱要求:1.理解等比數(shù)列的概念. 2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式. 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.,1.等比數(shù)列 (1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列,這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q0). (3)等比中項:如果在a與b中插入一個數(shù)G,使得a,G,b成等比數(shù)列,我們稱G為a,b的等比中項.即:G是a與b的等比中項a,G,b成等比數(shù)列G2=abG=± 2.等比數(shù)列的通項公式 (1)通項公式:若等比數(shù)列an的首項為a1,公比是q,則其通項公式為an=a1qn-1(a10,q0); (2)通項公式的推廣:an=amqn-m.,3.等比數(shù)列的前n項和公式 (1)當(dāng)q=1時,Sn=na1; 4.等比數(shù)列及前n項和的性質(zhì) (1)若an為等比數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,nN+),則ak·al=am·an. (2)若an為等比數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數(shù)列,公比為qm.,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“×”. (1)滿足an+1=qan(nN+,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列. ( ) (2)G為a,b的等比中項G2=ab. ( ) (3)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項. ( ) (4)在等比數(shù)列an中,若am·an=ap·aq,則m+n=p+q. ( ) (5)若數(shù)列an的通項公式是an=an,則其前n項和為 . ( ),×,×,×,×,1,2,3,4,5,答案,解析,2.(2015課標(biāo)全國,文9)已知等比數(shù)列an滿足a1= ,a3a5=4(a4-1),則a2=( ),1,2,3,4,5,3.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列,則“q1”是“an為遞增數(shù)列”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,1,2,3,4,5,4.(2015課標(biāo)全國,文13)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an,Sn為an的前n項和.若Sn=126,則n= .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.在等比數(shù)列an中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,若公比q1,則a3= .,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點評 1.等差數(shù)列的首項和公差可以為零,且等差中項唯一;而等比數(shù)列的首項和公比均不為零,等比中項可以有兩個值. 2.在等比數(shù)列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判斷an為等比數(shù)列,還要驗證a10;若am·an=ap·aq,則m+n=p+q不一定成立,因為常數(shù)列也是等比數(shù)列,但若m+n=p+q,則有 3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時,如果不能確定q與1的關(guān)系,必須分q=1和q1兩種情況討論.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1等比數(shù)列的基本運算 例1(1)(2015福建,文16)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p0,q0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項和等于 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:解決等比數(shù)列基本運算問題的常見思想方法有哪些? 解題心得:解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法 (1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解. (2)分類討論的思想:因為等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進行求和時,就要對參數(shù)是否為1進行分類求和. (3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時,常把qn或 當(dāng)成整體進行求解.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練1 (1)設(shè)數(shù)列an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,答案,解析,(2)(2015浙江,文10)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1= ,d= .,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點2等比數(shù)列的判定與證明 例2已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且an+Sn=n. (1)設(shè)cn=an-1,求證:cn是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列an的通項公式.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法? 解題心得:1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列常用的方法: (1)定義法,證明 (n2,q為常數(shù)); (2)等比中項法,證明 . (3)通項公式法,若數(shù)列通項公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常數(shù),nN+),則an是等比數(shù)列. 2.若判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練2 成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列bn中的b3,b4,b5. (1)求數(shù)列bn的通項公式; (2)數(shù)列bn的前n項和為Sn,求證:數(shù)列 是等比數(shù)列.,(1)解:設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d,a,a+d,依題意得a-d+a+a+d=15,解得a=5. bn中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d. 依題意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2(d=-13舍去). 故bn的第3項為5,公比為2, 由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(多維探究) 類型一 等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用 例3(1)在等比數(shù)列an中,a4=2,a5=5,則數(shù)列l(wèi)g an的前8項和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)(2015長春調(diào)研)在正項等比數(shù)列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n= .,思考:經(jīng)常用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)化簡解題過程?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,類型二 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用 例4設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:本題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡單? 解題心得:1.在解答等比數(shù)列的有關(guān)問題時,為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列項的如下性質(zhì): (1)通項公式的推廣:an=amqn-m; (2)等比中項的推廣與變形: =am·an(m+n=2p,m,n,pN+)及ak·al=am·an(k+l=m+n,m,n,k,lN+). 2.對已知條件為等比數(shù)列前幾項和,求其前多少項和的問題,應(yīng)用公比不為-1的等比數(shù)列前n項和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列比較簡便.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,答案,解析,對點訓(xùn)練3 (1)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+ln a20= .,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)等比數(shù)列an的首項a1=-1,前n項和為Sn,若 ,則公比q= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點4等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 例5(2015四川,理16)設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項公式;,(2)設(shè)數(shù)列 的前n項和為Tn,求Tn.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的? 解題心得:等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,合理調(diào)用相關(guān)知識,就不難解決這類問題.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練4 (2015北京,文16)已知等差數(shù)列an滿足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求an的通項公式; (2)設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2=a3,b3=a7.問:b6與數(shù)列an的第幾項相等?,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,3.求解等比數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思想 (1)方程思想:如求等比數(shù)列中的基本量; (2)分類討論思想:如求和時要分q=1和q1兩種情況討論,判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,1.在等比數(shù)列中,易忽視每一項與公比都不為0. 2.求等比數(shù)列的前n項和時,易忽略q=1這一特殊情形.,審題答題指導(dǎo)如何理解條件和轉(zhuǎn)化條件 典例在等差數(shù)列an中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)對任意mN+,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的個數(shù)記為bm,求數(shù)列bm的前m項和Sm. 審題要點:(1)題干中已知條件有三個:“數(shù)列an是等差數(shù)列”和兩個等式,(2)第(2)問中所含條件可理解為:數(shù)列an的各項在所給區(qū)間的項數(shù)為bm;(3)第(2)問中條件的轉(zhuǎn)化方法:文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,即求滿足9man92m的n的范圍.,解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, 由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28. 而a9=73,則5d=a9-a4=45,即d=9. 又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)×9=9n-8,即an=9n-8. (2)對任意mN+,9m9n-892m,則9m+89n92m+8, 而nN+, 由題意,可知 . 于是Sm=b1+b2+bm,