,§14.1 幾何證明選講,課時1 相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也 . 推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必 . 推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必 . 2.平行線分線段成比例定理 兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段 . 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段 .,相等,平分另一腰,平分第三邊,成比例,成比例,知識梳理,1,答案,3.相似三角形的判定及性質(zhì) (1)判定定理：,(2)性質(zhì)定理：相似三角形的對應(yīng)線段的比等于 ，面積比等于 .,兩角,兩邊,夾角,三邊,相似比,相似比的平方,答案,4.直角三角形的射影定理 直角三角形一條直角邊的平方等于該 ，斜邊上的高的平方等于 .,直角邊在斜邊上的射影與,斜邊的乘積,兩條直角邊在斜邊上射影,的乘積,答案,1.如圖，在四邊形ABCD中，ABCBAD.求證：ABCD.,證明 由ABCBAD得ACBBDA， 故A，B，C，D四點共圓，從而CABCDB. 由ABCBAD得CABDBA， 因此DBACDB，所以ABCD.,考點自測,2,解析答案,1,2,3,2.如圖，BDAE，C90°，AB4，BC2，AD3，求EC的長度.,依題意得，ADBACE，,解析答案,1,2,3,3.如圖，在ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC于點F，求 的值.,解 如圖，過點D作DGAF，交BC于點G，易得FGGC， 又在BDG中，BEDE， 即EF為BDG的中位線，,1,2,3,解析答案,返回,題型分類 深度剖析,例1 如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD交于點O，過點O作AB的平行線，與AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，與CD的延長線交于點K.求證：KO2KE·KF.,題型一 平行截割定理的應(yīng)用,解析答案,思維升華,證明 延長CK，BA，設(shè)它們交于點H， 因為KOHB，,因為KFHB，,即KO2KE·KF.,思維升華,當(dāng)條件中給出平行線時，應(yīng)優(yōu)先考慮平行線分線段成比例定理，在有關(guān)比例的計算與證明題中，常結(jié)合平行線分線段成比例定理構(gòu)造平行線解題.作平行線常用的方法有利用中點作中位線，利用比例線段作平行線等.,思維升華,(1)如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BD與AC相交于點O，過點O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBC，若AD12，BC20，求EF的長度. 解 ADBC，,EFOEOF15.,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)如圖所示，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，求AB的長. 解 DEBC，,解析答案,例2 如圖，在RtABC中，ACB90°，CDAB，E為AC的中點，ED、CB延長線交于一點F. 求證：FD2FB·FC.,證明 E是RtACD斜邊上的中點， EDEA，A1，12，2A， FDCCDB290°2，F(xiàn)BDACBA90°A， FBDFDC， F是公共角，F(xiàn)BDFDC，,題型二 相似三角形的判定與性質(zhì),解析答案,思維升華,(1)判定兩個三角形相似要注意結(jié)合圖形的性質(zhì)特點，靈活選擇判定定理.在一個題目中，相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到.(2)相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可間接證明線段相等.,思維升華,(1)如圖，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P.已知AC，PD2DA2，求PE的長. 解 BCPE， PEDCA， PDEPEA，,又PD2DA2，PAPDDA3.,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)如圖，四邊形ABCD中，DFAB，垂足為F，DF3，AF2FB2，延長FB到E，使BEFB，連結(jié)BD，EC.若BDEC，求四邊形ABCD的面積.,解 如圖，過點E作ENDB交DB的延長線于點N， 在RtDFB中，DF3，F(xiàn)B1，,所以EN為BCD底邊BD上的高，,解析答案,例3 如圖，在ABC中，D、F分別在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC的長.,題型三 射影定理的應(yīng)用,解析答案,思維升華,解 在ABC中，設(shè)AC為x， ABAC，AFBC. 又FC1，根據(jù)射影定理，得AC2FC·BC， 即BCx2. 再由射影定理，得AF2BF·FC(BCFC)·FC，,在BDC中，過D作DEBC于E.,解析答案,在RtDEC中，DE2EC2DC2，,思維升華,(1)在使用直角三角形射影定理時，要學(xué)會將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”.(2)證題時，作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形常用的方法.,思維升華,(1)如圖所示，在RtABC中，ACB90°，CDAB于D，且ADBD94，求ACBC.,解 AC2AD·AB，BC2BD·AB， AC2BC2ADBD94， ACBC32.,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)已知圓的直徑AB13，C為圓上一點，過C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，求AD的長.,解 如圖，連結(jié)AC，CB，AB是O的直徑， ACB90°. 設(shè)ADx，CDAB于D， 由射影定理得CD2AD·DB， 即62x(13x)， x213x360，解得x14，x29. ADBD，AD9.,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,1.判定兩個三角形相似的常規(guī)思路 (1)先找兩對對應(yīng)角相等； (2)若只能找到一對對應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應(yīng)成比例； (3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”.,2.直角三角形中常用的四個結(jié)論 在RtABC中，ACB90°，CDAB(如圖)：,(1)ABCD，BACD. (2)ABCACDCBD. (3)a2pc，b2qc，h2pq，abch(其中cpq). (4)在a、b、p、q、h五個量中，知道兩個量的值，就能求出其他三個量的值.,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.如圖，OAB是等腰三角形，P是底邊AB延長線上一點， 且PO3，PA·PB4，求腰長OA的長度. 解 如圖，作ODAP，垂足為D， 則PO2PD2OB2BD2， 所以PO2OB2PD2BD2， 因為ADBD， 所以PD2BD2PD2AD2(PDAD)(PDAD)PA·PB4， 所以PO2OB24，所以O(shè)B2945，,解析答案,2.如圖，BD，AEBC，ACD90°，且AB6， AC4，AD12，求AE的長.,解 由于ACDAEB90°，BD， ABEADC，,又AC4，AD12，AB6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,3.如圖，RtABC中，BAC90°，AD是斜邊BC上的高，若ABAC21，求ADBC.,BAC90°，ADBC，AC2CD·BC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,4.在ABC中，ACB90°，CDAB于D，ADBD23，求ACD與CBD的相似比. 解 如圖所示，在RtACB中，CDAB， 由射影定理得：CD2AD·BD， 又ADBD23，令A(yù)D2x.則BD3x(x0)，,又ADCBDC90°，ACDCBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,證明 BE是ABC的角平分線，,在RtABC中，由射影定理知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.如圖所示，在RtABC中，ACB90°，M是BC的中點， CNAM，垂足是N，求證：AB·BMAM·BN. 證明 CM2MN·AM， 又M是BC的中點，,又BMNAMB，AMBBMN，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,7.如圖所示，平行四邊形ABCD中，E是CD延長線上的一 點，BE與AD交于點F，DE CD. (1)求證：ABFCEB；,證明 四邊形ABCD是平行四邊形， AC，ABCD. ABFCEB. ABFCEB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積. 解 四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD. DEFCEB，DEFABF.,SDEF2，SCEB18，SABF8. S四邊形BCDFSCEBSDEF16. S四邊形ABCDS四邊形BCDFSABF16824.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,8.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BECD，垂 足為E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點，且BFEC. (1)求證：ABFEAD.,證明 ABCD， BAFAED. 又BFEC，BFEBFACADE， BFAADE. ABFEAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若BAE30°，AD3，求BF的長. 解 BAE30°，AEB60°，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,9.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E、F分 別是AB、BC的中點，EF與BD相交于點M. (1)求證：EDMFBM； 證明 E是AB的中點，AB2EB. AB2CD，CDEB. 又ABCD，四邊形CBED是平行四邊形. CBDE，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若DB9，求BM.,F是BC的中點， DE2BF.DM2BM，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,10.如圖，在梯形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EFAD，假設(shè)EF做上下平行移動.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,證明 過點A作AHCD分別交EF，BC于點G，H.,又EGGFEGADEF，,即3EFBC2AD.,解析答案,解 EF與BC，AD的關(guān)系式為5EF2BC3AD，理由和(1)類似.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,即(mn)EFmBCnAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,