,§14.3 坐標系與參數(shù)方程,課時1 坐標系,內(nèi)容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎知識 自主學習,1.平面直角坐標系 設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：,的作用下，點P(x，y)對應到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.,知識梳理,1,答案,2.極坐標系 (1)極坐標與極坐標系的概念 在平面上取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定 一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為 正方向)，這樣就建立了一個極坐標系.點O稱為極點，射線Ox稱為極軸.平面內(nèi)任一點M的位置可以由線段OM的長度和從射線Ox到射線OM的角度來刻畫(如圖所示).這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(，)稱為點M的極坐標.稱為點M的 ，稱為點M的 .由極徑的意義可知0.當極角的取值范圍是0,2)時，平面上的點(除去極點)就與極坐標(，) (0)建立一一對應的關系.我們設定，極點的極坐標中，極徑0，極角可取任意角.,極徑,極角,答案,(2)極坐標與直角坐標的互化 設M為平面內(nèi)的一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為(，).由圖可知下面關系式成立：,這就是極坐標與直角坐標的互化公式.,或,.,答案,3.常見曲線的極坐標方程,r(02),2rcos ,2rsin (0),答案,cos a,sin a(0),答案,過點(0,2)且與x軸平行的直線方程為y2. 即為sin 2.,考點自測,2,解析答案,1,2,3,解析答案,1,2,3,3.在以O為極點的極坐標系中，圓4sin 和直線sin a相交于A，B兩點.當AOB是等邊三角形時，求a的值.,解析答案,1,2,3,返回,解 由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24. 由sin a可得ya. 設圓的圓心為O，ya與x2(y2)24的兩交點A， B與O構成等邊三角形，如圖所示. 由對稱性知OOB30°，ODa.,1,2,3,返回,題型分類 深度剖析,例1 (1)以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求線段y1x(0x1)的極坐標方程.,y1x化成極坐標方程為cos sin 1，,0x1，線段在第一象限內(nèi)(含端點)，,題型一 極坐標與直角坐標的互化,解析答案,(2)在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線C1和C2交點的直角坐標. 解 因為xcos ，ysin ， 由sin2cos ，得2sin2cos ， 所以曲線C1的直角坐標方程為y2x. 由sin 1，得曲線C2的直角坐標方程為y1.,解析答案,思維升華,(1)極坐標與直角坐標互化的前提條件：極點與原點重合；極軸與x軸的正半軸重合；取相同的單位長度.(2)直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換.,思維升華,(1)曲線C的直角坐標方程為x2y22x0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程.,解 將x2y22，xcos 代入x2y22x0， 得22cos 0，整理得2cos .,跟蹤訓練1,解析答案,(2)求在極坐標系中，圓2cos 垂直于極軸的兩條切線方程. 解 由2cos ，得22cos ，化為直角坐標方程為x2y22x0， 即(x1)2y21， 其垂直于x軸的兩條切線方程為x0和x2，,解析答案,例2 將圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. (1)寫出曲線C的方程；,解 設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)，,題型二 求曲線的極坐標方程,解析答案,(2)設直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.,化為極坐標方程，并整理得2cos 4sin 3，,解析答案,思維升華,求曲線的極坐標方程的步驟：(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設P(，)是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關系式；(3)將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程.,思維升華,令0，得1，所以圓C的圓心坐標為(1,0).,于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為2cos .,跟蹤訓練2,解析答案,例3 (2015·課標全國)在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求C1，C2的極坐標方程；,解 因為xcos ，ysin ， 所以C1的極坐標方程為cos 2， C2的極坐標方程為22cos 4sin 40.,題型三 極坐標方程的應用,解析答案,由于C2的半徑為1，所以C2MN為等腰直角三角形，,解析答案,思維升華,(1)已知極坐標系方程討論位置關系時，可以先化為直角坐標方程；(2)在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價性.,思維升華,圓4可化為x2y216，,跟蹤訓練3,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題時，將極坐標方程化為直角坐標方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用.,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,2.在極坐標系(，)(02)中，求曲線(cos sin )1與(sin cos )1的交點的極坐標. 解 曲線(cos sin )1化為直角坐標方程為xy1， (sin cos )1化為直角坐標方程為yx1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,3.在極坐標系中，已知圓3cos 與直線2cos 4sin a0相切，求實數(shù)a的值. 解 圓3cos 的直角坐標方程為x2y23x，,直線2cos 4sin a0的直角坐標方程為2x4ya0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 以極點為坐標原點，極軸為x軸建立直角坐標系， 則曲線2cos 的直角坐標方程為(x1)2y21，且圓心為(1,0).,因為圓心(1,0)關于yx的對稱點為(0,1)， 所以圓(x1)2y21關于yx的對稱曲線為x2(y1)21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解 對曲線C1的極坐標方程進行轉(zhuǎn)化： 12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236. 對曲線C2的極坐標方程進行轉(zhuǎn)化：,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 設P點的極坐標為(，). POP為正三角形，如圖所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,8.在極坐標系中，判斷直線cos sin 10與圓2sin 的位置關系. 解 直線cos sin 10可化成xy10， 圓2sin 可化為x2y22y， 即x2(y1)21.,故直線與圓相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上.,kMNkNP，M、N、P三點在一條直線上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,10.在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為cos( )1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點. (1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；,當0時，2，所以M(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程. 解 M點的直角坐標為(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,