《高考數(shù)學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.3 課時1 坐標系課件 理.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.3 課時1 坐標系課件 理.ppt（41頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

,§14.3 坐標系與參數(shù)方程,課時1 坐標系,,,內(nèi)容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,基礎知識 自主學習,1.平面直角坐標系 設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：,的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.,,,知識梳理,1,,答案,2.極坐標系 (1)極坐標與極坐標系的概念 在平面上取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定 一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為 正方向)，這樣就建立了一個極坐標系.點O稱為極點，射線Ox稱為極軸.平面內(nèi)任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來刻畫(如圖所示).這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標.ρ稱為點M的 ，θ稱為點M的 .由極徑的意義可知ρ≥0.當極角θ的取值范圍是[0,2π)時，平面上的點(除去極點)就與極坐標(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一對應的關系.我們設定，極點的極坐標中，極徑ρ＝0，極角θ可取任意角.,極徑,極角,,答案,(2)極坐標與直角坐標的互化 設M為平面內(nèi)的一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為(ρ，θ).由圖可知下面關系式成立：,這就是極坐標與直角坐標的互化公式.,或,.,,,,答案,3.常見曲線的極坐標方程,ρ＝r(0≤θ2π),ρ＝2rcos θ,ρ＝2rsin θ(0≤θπ),,,,,答案,ρcos θ＝a,ρsin θ＝a(0θπ),,答案,∴過點(0,2)且與x軸平行的直線方程為y＝2. 即為ρsin θ＝2.,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,,解析答案,1,2,3,3.在以O為極點的極坐標系中，圓ρ＝4sin θ和直線ρsin θ＝a相交于A，B兩點.當△AOB是等邊三角形時，求a的值.,,解析答案,1,2,3,返回,解 由ρ＝4sin θ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4. 由ρsin θ＝a可得y＝a. 設圓的圓心為O′，y＝a與x2＋(y－2)2＝4的兩交點A， B與O構成等邊三角形，如圖所示. 由對稱性知∠O′OB＝30°，OD＝a.,,1,2,3,返回,,題型分類 深度剖析,例1 (1)以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標方程.,∴y＝1－x化成極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1，,∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點)，,,,題型一 極坐標與直角坐標的互化,,解析答案,(2)在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線C1和C2交點的直角坐標. 解 因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ， 所以曲線C1的直角坐標方程為y2＝x. 由ρsin θ＝1，得曲線C2的直角坐標方程為y＝1.,,解析答案,思維升華,,(1)極坐標與直角坐標互化的前提條件：①極點與原點重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③取相同的單位長度.(2)直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換.,思維升華,(1)曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程.,解 將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0， 得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.,跟蹤訓練1,,解析答案,(2)求在極坐標系中，圓ρ＝2cos θ垂直于極軸的兩條切線方程. 解 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0， 即(x－1)2＋y2＝1， 其垂直于x軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，,,解析答案,例2 將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. (1)寫出曲線C的方程；,解 設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)，,,,題型二 求曲線的極坐標方程,,解析答案,(2)設直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.,化為極坐標方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，,,解析答案,思維升華,,求曲線的極坐標方程的步驟：(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設P(ρ，θ)是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關系式；(3)將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程.,思維升華,令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標為(1,0).,于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ.,跟蹤訓練2,,解析答案,例3 (2015·課標全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求C1，C2的極坐標方程；,解 因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的極坐標方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.,,,題型三 極坐標方程的應用,,解析答案,由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，,,解析答案,思維升華,,(1)已知極坐標系方程討論位置關系時，可以先化為直角坐標方程；(2)在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉化的等價性.,思維升華,圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，,跟蹤訓練3,,解析答案,返回,,思想方法 感悟提高,在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題時，將極坐標方程化為直角坐標方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉化與化歸思想的應用.,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,2.在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的交點的極坐標. 解 曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1化為直角坐標方程為x＋y＝1， ρ(sin θ－cos θ)＝1化為直角坐標方程為y－x＝1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,3.在極坐標系中，已知圓ρ＝3cos θ與直線2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實數(shù)a的值. 解 圓ρ＝3cos θ的直角坐標方程為x2＋y2＝3x，,直線2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐標方程為2x＋4y＋a＝0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 以極點為坐標原點，極軸為x軸建立直角坐標系， 則曲線ρ＝2cos θ的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，且圓心為(1,0).,因為圓心(1,0)關于y＝x的對稱點為(0,1)， 所以圓(x－1)2＋y2＝1關于y＝x的對稱曲線為x2＋(y－1)2＝1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解 對曲線C1的極坐標方程進行轉化： ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36. 對曲線C2的極坐標方程進行轉化：,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 設P′點的極坐標為(ρ，θ). ∵△POP′為正三角形，如圖所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,8.在極坐標系中，判斷直線ρcos θ－ρsin θ＋1＝0與圓ρ＝2sin θ的位置關系. 解 直線ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0， 圓ρ＝2sin θ可化為x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1.,故直線與圓相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上.,∴kMN＝kNP，∴M、N、P三點在一條直線上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,10.在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為ρcos(θ－ )＝1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點. (1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；,當θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程. 解 M點的直角坐標為(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,返回,