18 2.3正方形 知識點1：正方形的性質1正方形具有而菱形不一定具有的性質是( )A對角線互相平分 B對角線相等C對角線互相垂直 D對角線平分一組對角2 (例5變式)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC， BD相交于點O，則圖中的等腰直角三角形有( )A 4個 B6個 C8個 D10個C B 4如圖，在正方形ABCD的外側，作等邊ADE，則 BED的度數(shù)是_B45 5如圖，已知正方形ABCD的對角線AC， BD交于點O，點E， F分別是OB， OC上的動點當動點E， F滿足BECF時(1)寫出所有以點E或F為頂點的全等三角形；(不得添加輔助線)(2)求證：AE BF.解：(1)ABEBCF，AOEBOF，ADEBAF(2)延長AE交BF于點M，易證ABEBCF， BAE CBF， CBF ABF90， BAE ABF90， AMB90， AE BF 知識點2：正方形的判定6 (2016內江)下列命題中，真命題是( )A對角線相等的四邊形是矩形B對角線互相垂直的四邊形是菱形C對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D對角線互相垂直平分的四邊形是正方形7已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件：ABBC；ABC90；ACBD；ACBD.選兩個作為補充條件，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的選法是( )A BC DCB 8如圖，在四邊形ABCD中， ABBCCDDA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是_答案不唯一，如ACBD或AB BC等 9如圖，在ABC中， ABAC， D為BC邊的中點，過點D作DE AB， DF AC，垂足分別為E， F.(1)求證：BEDCFD；(2)若 A90，求證：四邊形DFAE是正方形解：(1) ABAC， B C， DE AB， DF AC， BED CFD90， D為中點， BDCD， BEDCFD(AAS)(2) A DEA DFA90， 四邊形DFAE是矩形，由(1)知BEDCFD， DEDF， 四邊形DFAE是正方形 C 13如圖，點O是線段AB上的一點， OAOC， OD平分 AOC交AC于點D， OF平分 COB， CF OF于點F.(1)求證：四邊形CDOF是矩形；(2)當 AOC為多少度時，四邊形CDOF是正方形？并說明理由解：(1)證四邊形CDOF的三個角都為直角(2) AOC90時，四邊形CDOF是正方形，理由：易得ADDC， AOC90， ODDC，由(1)知四邊形CDOF是矩形， 四邊形CDOF是正方形 14 (2017寧夏模擬)如 圖 ，正方形ABCD的邊長為3， E， F分別是AB，BC邊上的點，且 EDF45，將DAE繞點D逆時針旋轉90，得到DCM.(1)求證：EFFM；(2)當AE1時，求EF的長 15如圖，在RtABC中， ACB90，過點C的直線MN AB， D為AB邊上一點，過點D作DE BC，交直線MN于點E，垂足為F，連接CD， BE.(1)求證：CEAD；(2)當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)若D為AB中點，則當 A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由 解：(1)由兩邊平行證四邊形ADEC是平行四邊形即可得到CEAD(2)四邊形BECD是菱形理由： D為AB中點， ADBD，又由(1)得CEAD， BDCE，又 BD CE， 四邊形BECD是平行四邊形， ACB90， D為AB中點， CDBD， 四邊形BECD是菱形(3)當 A45時，四邊形BECD是正方形，理由： ACB90， A45， ABC A45， ACBC， D為BA中點， CD AB， CDB90， 四邊形BECD是菱形， 四邊形BECD是正方形 方法技能：1正方形同時具備平行四邊形、矩形、菱形的所有性質，因此，正方形四個角都是直角，四條邊都相等，對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角，正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸這些性質為證明線段相等、垂直和角相等提供了重要的依據(jù)2判定一個四邊形是正方形，一般有兩種思路：一種是先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等；另一種是先證明四邊形是矩形，再證它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直3正方形的面積邊長的平方對角線乘積的一半易錯提示：1將特殊平行四邊形的判定相混淆而出錯 2判定特殊平行四邊形的條件不足而出錯