第十一章 概率,11.1 隨機(jī)事件的概率,考綱要求:1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別. 2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.,1.事件的分類,2.頻率與概率 (1)頻率:在n次重復(fù)次試驗(yàn)中,某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)與n的比值稱為這n次試驗(yàn)中事件A的頻率. (2)概率:在相同的條件下,大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時,隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動,即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這時我們把這個常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率,記作P(A).概率的取值范圍:0P(A)1. (3)頻率與概率的關(guān)系:頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機(jī)的,但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)比較大時,頻率會在某個常數(shù)附近擺動,這個常數(shù)就是概率,所以概率是一個確定的值.人們用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.,3.互斥事件與對立事件 (1)互斥事件:在一個隨機(jī)試驗(yàn)中,把一次試驗(yàn)下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件. (2)和事件:給定事件A,B,我們規(guī)定A+B為一個事件,事件A+B發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個發(fā)生. (3)和事件的概率:在一個隨機(jī)試驗(yàn)中,如果隨機(jī)事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=P(A)+P(B);如果隨機(jī)事件A1,A2,An中任意兩個是互斥事件,那么有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An). (4)對立事件:在每一次試驗(yàn)中,相互對立的事件A和事件 不會同時發(fā)生,并且一定有一個發(fā)生.所以有 =1-P(A).,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“×”. (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的. ( ) (2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事. ( ) (3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中,概率是頻率的穩(wěn)定值. ( ) (4)兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生. ( ) (5)對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件. ( ),×,×,1,2,3,4,5,2.把紅、藍(lán)、黑、白4個球隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4人,每人一個球,事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是( ) A.對立事件 B.互斥但不對立事件 C.不可能事件 D.以上都不對,答案,解析,1,2,3,4,5,3.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶 C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶,答案,解析,1,2,3,4,5,4.(2015江西上饒模擬)某射手的一次射擊中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別為0.2,0.3,0.1,則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.從一副不包括大小王的混合后的撲克牌(52張)中,隨機(jī)抽取1張,事件A為“抽得紅桃K”,事件B為“抽得黑桃”,則概率P(AB)= (結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示).,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點(diǎn)評 1.頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別,不可混為一談.頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化,概率卻是一個常數(shù).當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時,頻率向概率靠近. 2.隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是兩個不同的概念,沒有必然的聯(lián)系.在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件;條件每實(shí)現(xiàn)一次,叫做一次試驗(yàn),如果試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)前無法確定,叫做隨機(jī)試驗(yàn). 3.對立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對立事件,“互斥”是“對立”的必要不充分條件.,考點(diǎn)1隨機(jī)事件的關(guān)系 例1(1)一枚均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次,設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),事件B表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不超過3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4,則( ) A.A與B是互斥而非對立事件 B.A與B是對立事件 C.B與C是互斥而非對立事件 D.B與C是對立事件,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,(2)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球,則互斥而不對立的事件有 .(填序號) 至少有一個紅球,都是紅球 至少有一個紅球,都是白球 至少有一個紅球,至少有一個白球 恰有一個紅球,恰有兩個紅球,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,思考:如何判斷隨機(jī)事件之間的關(guān)系? 解題心得:1.判斷隨機(jī)事件之間的關(guān)系有兩種方法: (1)緊扣事件的分類,結(jié)合互斥事件,對立事件的定義進(jìn)行分析判斷; (2)類比集合進(jìn)行判斷,把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系. 2.各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥;事件A的對立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,對點(diǎn)訓(xùn)練1 (1)在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( ) A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡 C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,(2)給出下列命題: A,B是兩個事件,則P(AB)=P(A)+P(B); 若事件A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1; 若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則事件A,B是對立事件. 其中所有不正確命題的序號為 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,考點(diǎn)2隨機(jī)事件的頻率與概率 例2某保險公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法,對投保車輛進(jìn)行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下: (1)若每輛車的投保金額均為2 800元,估計賠付金額大于投保金額的概率; (2)在樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4 000元的樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占20%,估計在已投保車輛中,新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,思考:隨機(jī)事件的頻率與概率有怎樣的關(guān)系?如何求隨機(jī)事件的概率? 解題心得:1.概率是頻率的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時,頻率越穩(wěn)定于概率. 2.求解隨機(jī)事件的概率的常用方法有兩種: (1)可用頻率來估計概率; (2)利用隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)除以基本事件總數(shù).計算的方法有:列表法;列舉法; 樹狀圖法.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,對點(diǎn)訓(xùn)練2 (2015北京,文17)某超市隨機(jī)選取1 000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“”表示購買,“×”表示未購買.,(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率; (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率; (3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,解:(1)從統(tǒng)計表可以看出,在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙, 所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為 (2)從統(tǒng)計表可以看出,在這1 000位顧客中,有100位顧客同時購買了甲、丙、丁,另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品. 所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,考點(diǎn)3互斥事件、對立事件的概率,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,(2)(2015江蘇南通模擬)已知射手甲射擊一次,命中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率為0.5,命中8環(huán)的概率為0.2,命中7環(huán)的概率為0.1,則甲射擊一次,命中6環(huán)以下(含6環(huán))的概率為 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,思考:求互斥事件的概率一般方法有哪些? 解題心得:求互斥事件的概率一般有兩種方法: (1)公式法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運(yùn)用互斥事件的求和公式計算; (2)間接法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( )求出,特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法就較簡便.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,對點(diǎn)訓(xùn)練3 黃種人群中各種常見血型的人所占比例大約如下: 已知同種血型的人可以互相輸血,O型血的人可以給任一種血型的人輸血,任何人的血都可以輸給AB型血的人,其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血,若他因病需要輸血,問 (1)任找一人,其血可以輸給小明的概率是多少? (2)任找一人,其血不能輸給小明的概率是多少?,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,1.對于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A). 2.利用集合方法判斷互斥事件與對立事件: (1)若由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥; (2)事件A的對立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集. 3.若某一事件包含的基本事件較多,而它的對立事件包含的基本事件較少,則可用“正難則反”思想求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識方法,易錯易混,1.正確認(rèn)識互斥事件與對立事件的關(guān)系:對立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對立事件.善于將事件A轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录蠼? 2.注意概率加法公式的使用條件,概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中,易忽視只有當(dāng)AB=,即A,B互斥時,P(AB)=P(A)+P(B),此時P(AB)=0.,一、易錯警示忽視概率加法公式的應(yīng)用條件致誤 典例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn),2點(diǎn),3點(diǎn),4點(diǎn),5點(diǎn),6點(diǎn)的概率都是 ,記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,事件B為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”,求P(AB). 解:記事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”“出現(xiàn)2點(diǎn)”“出現(xiàn)3點(diǎn)”“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1,A2,A3,A4,由題意知這四個事件彼此互斥.,二、思想方法“正難則反思想”在概率中的應(yīng)用 “正難則反思想”是一種常見的數(shù)學(xué)思想,如反證法、補(bǔ)集的思想都是正難則反思想的體現(xiàn).在解決問題時,如果從問題的正面入手比較復(fù)雜或不易解決,嘗試采用“正難則反”思想往往會起到事半功倍的效果,大大降低題目的難度.在求對立事件的概率時,經(jīng)常應(yīng)用“正難則反”的思想,即若事件A與事件B互為對立事件,在求P(A)或P(B)時,利用公式P(A)=1-P(B)先求容易的一個,再求另一個.,典例2某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示. 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值; (2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率),解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45, 解得x=15,y=20. 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的樣本,顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為,