11.3 幾何概型,考綱要求:1.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率. 2.了解幾何概型的意義.,幾何概型 (1)定義:向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M,若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比,而與G的形狀、位置無關(guān),即P(點(diǎn)M落在 ,則稱這種模型為幾何概型. (2)幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) 無限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè); 等可能性:每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. (3)幾何概型中,事件A的概率計(jì)算公式的擴(kuò)展,2,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”. (1)幾何概型中,每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等. ( ) (2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形. ( ) (3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān). ( × ) (4)相同環(huán)境下兩次隨機(jī)模擬得到的概率的估計(jì)值是相等的. ( × ) (5)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率. ( ),2,3,4,1,5,答案,解析,2,3,4,1,5,答案,解析,2,3,4,1,5,4.(2015西寧檢測)已知球O內(nèi)切于棱長為2的正方體,若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn),則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率為 .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn),若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧 的長度小于1的概率為_.,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點(diǎn)評 1.“幾何概型”與“古典概型”兩者共同點(diǎn)是基本事件的發(fā)生是等可能的,不同之處是幾何概型的基本事件的個(gè)數(shù)是無限的,古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的. 2.在幾何概型的試驗(yàn)中,事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關(guān). 3.隨機(jī)模擬得到的是某一次的頻率,所以相同環(huán)境下兩次隨機(jī)模擬得到的概率的估計(jì)值可能相等也可能不相等.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1與長度、角度有關(guān)的幾何概型,例1(1)(2015重慶,文15)在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個(gè)負(fù)根的概率為_. (2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB= ,BC=1,在DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為_.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:如何確定幾何概型的概率用長度或角度的比來求?,解題心得:解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動(dòng)范圍.當(dāng)考察對象為點(diǎn),點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí),用線段長度比計(jì)算;當(dāng)考察對象為線時(shí),一般用角度比計(jì)算.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)2與面積、體積有關(guān)的幾何概型,例2(1)(2015福建,文8),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)(2015濟(jì)南一模) 如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,有一動(dòng)點(diǎn)在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng),則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為_.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的概率的基本思路是什么?,解題心得:求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的概率的基本思路為:用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的區(qū)域,在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域,然后用公式 求出概率.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對點(diǎn)訓(xùn)練2 (1)(2015廣州一模)任取實(shí)數(shù)a,b-1,1,則a,b滿足|a-2b|2的概率為( ),(2)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3幾何概型與非幾何知識(shí)的綜合 例3(1)(2015陜西,文12)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,則yx的概率為( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:如何把看似與幾何概型無關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化成與幾何概型的量度有關(guān)的問題?,解題心得:處理幾何概型與非幾何知識(shí)的綜合問題的關(guān)鍵是,通過轉(zhuǎn)化,將某一事件所包含的基本事件用“長度”“角度”“面積”“體積”等表示出來.如把這兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對點(diǎn)訓(xùn)練3 (1)若k-3,3,則k的值使得過A(1,1)可以作兩條直線與圓(x-k)2+y2=2相切的概率等于( ),(2)在區(qū)間0,10上任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,使得不等式2x2-ax+80在(0,+)上恒成立的概率為_-.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.兩種常見幾何概型的解決方法: (1)線型幾何概型:當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí).一般是把這個(gè)變量看成一條線段或角,即可借助于線段(或角度)的度量比來求解. (2)面型幾何概型:當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí),一般是把這兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決. 2.對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認(rèn)識(shí),它只與大小有關(guān),而與形狀和位置無關(guān). 3.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用:很多幾何概型往往要通過一定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計(jì)算上來,在解決問題時(shí),要善于根據(jù)問題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化策略是解決幾何概型試題的關(guān)鍵.如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對應(yīng),然后利用幾何概型概率公式計(jì)算等.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,解決幾何概型問題時(shí),有兩點(diǎn)容易造成失分: 一是不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型; 二是利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視事件是否等可能.,