第 二 講 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 【 思 想 解 讀 】數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 就 是 通 過 數(shù) 與 形 的 相 互 轉(zhuǎn) 化 來 解 決 數(shù) 學(xué)問 題 的 思 想 .其 應(yīng) 用 包 括 以 下 兩 個 方 面 :(1)“ 以 形 助 數(shù) ” ,把 某 些 抽 象 的 數(shù) 學(xué) 問 題 直 觀 化 、 生動 化 ,能 夠 變 抽 象 思 維 為 形 象 思 維 .(2)“ 以 數(shù) 定 形 ” ,把 直 觀 圖 形 數(shù) 量 化 ,使 形 更 加 精 確 . 熱 點(diǎn) 1 利 用 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 研 究 零 點(diǎn) 、 方 程 的 根【 典 例 1】 (2016 大 連 一 模 )函 數(shù) f(x)= -2sinx-|ln(x+1)|的 零 點(diǎn) 個 數(shù) 為 ( )A.1 B.2 C.3 D.4 2 x4cos cos( x)2 2 【 解 析 】 選 B.因 為 f(x)= -2sinx-|ln(x+1)|=2(1+cosx) sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|，所 以 函 數(shù) f(x)的 零 點(diǎn) 個 數(shù) 為 函 數(shù) y=sin2x與 y=|ln(x+1)|圖 象 的 交 點(diǎn) 的 個 數(shù) . 2 x4cos cos( x)2 2 函 數(shù) y=sin2x與 y=|ln(x+1)|的 圖 象 如 圖 所 示 ，由 圖 知 ， 兩 函 數(shù) 圖 象 有 2個 交 點(diǎn) ，所 以 函 數(shù) f(x)有 2個 零 點(diǎn) . 【 規(guī) 律 方 法 】 利 用 數(shù) 形 結(jié) 合 探 究 方 程 解 的 問 題 的 關(guān) 注點(diǎn)(1)討 論 方 程 的 解 (或 函 數(shù) 的 零 點(diǎn) )一 般 可 構(gòu) 造 兩 個 函 數(shù) ,使 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 討 論 兩 曲 線 的 交 點(diǎn) 問 題 ,但 用 此 法 討 論 方程 的 解 一 定 要 注 意 圖 象 的 準(zhǔn) 確 性 、 全 面 性 ,否 則 會 得 到錯 解 . (2)正 確 作 出 兩 個 函 數(shù) 的 圖 象 是 解 決 此 類 問 題 的 關(guān) 鍵 ,數(shù) 形 結(jié) 合 應(yīng) 以 快 和 準(zhǔn) 為 原 則 ,不 要 刻 意 去 用 數(shù) 形 結(jié) 合 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】 (2016 洛 陽 一 模 )已 知 函 數(shù) f(x)滿 足f(x)=2f ,當(dāng) x 1,3時 ,f(x)=lnx,若 在 區(qū) 間 內(nèi) ,函 數(shù) g(x)=f(x)-ax與 x軸 有 三 個 不 同 的 交 點(diǎn) ,則 實 數(shù)a的 取 值 范 圍 為 _.1( )x 1 33， 【 解 析 】 由 題 意 知 ,f(x)= 因 為 在 區(qū) 間 內(nèi) ,函 數(shù) g(x)=f(x)-ax與 x軸 有 三 個 不同 的 交 點(diǎn) ,所 以 函 數(shù) f(x)= 與 y=ax在 區(qū) 間 內(nèi) 有三 個 不 同 的 交 點(diǎn) , ln x,x 1,3 ,12ln x,x ,1)3 ，1 33， 1 33，ln x,x 1,3 ,12ln x,x ,1)3 ， 作 函 數(shù) f(x)= 與 y=ax在 區(qū) 間 內(nèi) 的圖 象 如 圖 , ln x,x 1,3 ,12ln x,x ,1)3 ， 1 33， 結(jié) 合 圖 象 可 知 ,當(dāng) 直 線 y=ax與 f(x)=lnx相 切 時 , 解 得 ,x=e;此 時 a= 當(dāng) 直 線 y=ax過 點(diǎn) (3,ln3)時 , 答 案 : ln x 1 ,x x1;e ln 3 ln 3 1a ; a .3 3 e 故ln 3 1 , )3 e 熱 點(diǎn) 2 利 用 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 解 決 最 值 問 題【 典 例 2】 (2016 重 慶 一 模 )過 點(diǎn) ( ,0)引 直 線 l與曲 線 y= 相 交 于 A,B兩 點(diǎn) ,O為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ,當(dāng) AOB的面 積 取 最 大 值 時 ,直 線 l的 斜 率 等 于 ( )221 x3 3 3A. B C D 33 3 3 【 解 析 】 選 B.由 于 y= ,即 x2+y2=1(y 0),直 線 l與 x2+y2=1(y 0)交 于 A,B兩 點(diǎn) ,如 圖 所 示21 x S AOB= sin AOB ,且 當(dāng) AOB=90 時 ,S AOB取 得最 大 值 ,此 時 AB= ,點(diǎn) O到 直 線 l的 距 離 為 ,則 OCB=30 ,所 以 直 線 l的 傾 斜 角 為 150 ,則 斜 率為 - .12 12233 22 【 規(guī) 律 方 法 】 利 用 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 解 決 最 值 問 題 的 一 般思 路(1)對 于 幾 何 圖 形 中 的 動 態(tài) 問 題 ,應(yīng) 分 析 各 個 變 量 的 變化 過 程 ,找 出 其 中 的 相 互 關(guān) 系 求 解 .(2)對 于 求 最 大 值 、 最 小 值 問 題 ,先 分 析 所 涉 及 知 識 ,然后 畫 出 相 應(yīng) 的 圖 象 數(shù) 形 結(jié) 合 求 解 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】1.記 實 數(shù) x1,x2, ,xn中 最 小 數(shù) 為 minx1,x2, ,xn,則定 義 在 區(qū) 間 0,+ )上 的 函 數(shù) f(x)=minx2+1,x+3,13-x的 最 大 值 為 ( )A.5 B.6 C.8 D.10 【 解 析 】 選 C.在 同 一 坐 標(biāo) 系 中 作 出 三 個 函 數(shù) y=x2+1, y=x+3,y=13-x的 圖 象 如 圖 : 由 圖 可 知 ,minx2+1,x+3,13-x為 y=x+3上 A點(diǎn) 下 方 的 射線 ,拋 物 線 AB之 間 的 部 分 ,線 段 BC,與 直 線 y=13-x點(diǎn) C下方 的 部 分 的 組 合 體 ,顯 然 ,在 C點(diǎn) 時 ,y=minx2+1,x+3, 13-x取 得 最 大 值 .解 方 程 組 得 :C(5,8).所 以maxminx2+1,x+3,13-x=8.y x 3,y 13 x 2.若 實 數(shù) x,y滿 足 等 式 x2+y2=1,那 么 的 最 大 值 為 ( )yx 21 3 3A. B. C. D. 32 3 2 【 解 析 】 選 B.設(shè) k= ,如 圖 所 示 ,kPB=tan OPB= kPA=-tan OPA=- ,且 kPA k kPB,所 以 kmax= .yx 22 21 332 1 ， 3333 熱 點(diǎn) 3 利 用 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 解 決 不 等 式 、 參 數(shù) 問 題【 典 例 3】 實 系 數(shù) 一 元 二 次 方 程 x2+ax+2b=0的 一 個 根 在(0,1)上 ,另 一 個 根 在 (1,2)上 ,則 的 取 值 范 圍 是 ( )A.1,4 B.(1,4) b 2a 11 1C. ,1 D.( ,1)4 4 【 解 析 】 選 D.設(shè) f(x)=x2+ax+2b,因 為 方 程 x2+ax+2b=0的 一 個 根 在 區(qū) 間 (0,1)內(nèi) ,另 一 個根 在 區(qū) 間 (1,2)內(nèi) ,所 以 可 得 f 0 0, b 0,f 1 0, a 2b 1 0,a b 2 0,f 2 0, 即 作 出 滿 足 上 述 不 等 式 組 對 應(yīng) 的 點(diǎn) (a,b)所 在 的 平 面 區(qū) 域 ,得 到 ABC及 其 內(nèi) 部 ,即 如 圖 所 示 的 陰 影 部 分 (不 含 邊界 ). 其 中 A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),設(shè) 點(diǎn) E(a,b)為 區(qū) 域 內(nèi) 的 任 意 一 點(diǎn) ,則 k= ,表 示 點(diǎn) E(a,b)與 點(diǎn) D(1,2)連 線 的 斜 率 .因 為 結(jié) 合 圖 形 可 知 :kADkkCD,所 以 的 取 值 范 圍 是 .b 2a 1b 2a 1AD CD2 1 1 2 0k ,k 1,1 3 4 1 1 1( ,1)4 【 規(guī) 律 方 法 】1.數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 解 決 參 數(shù) 問 題 的 思 路(1)分 析 條 件 所 給 曲 線 .(2)畫 出 圖 象 .(3)根 據(jù) 圖 象 求 解 . 2.常 見 的 數(shù) 與 形 的 轉(zhuǎn) 化(1)集 合 的 運(yùn) 算 及 韋 恩 圖 .(2)函 數(shù) 及 其 圖 象 .(3)數(shù) 列 通 項 及 求 和 公 式 的 函 數(shù) 特 征 及 函 數(shù) 圖 象 .(4)方 程 (多 指 二 元 方 程 )及 方 程 的 曲 線 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】 當(dāng) x (1,2)時 ,(x-1)21,在 同 一 坐 標(biāo) 系 內(nèi) 作 出 y=(x-1)2,x (1,2)及 y=logax的圖 象 , 若 y=logax過 點(diǎn) (2,1),得 loga2=1,所 以 a=2.根 據(jù) 題 意 ,函 數(shù) y=logax,x (1,2)的 圖 象 恒 在 y=(x-1)2,x (1,2)的 上 方 ,所 以 1a 2.答 案 :1a 2