高考數(shù)學一輪復習 第十三章 推理與證明、算法、復數(shù) 13.5 復數(shù)課件 理.ppt
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,第十三章 推理與證明、算法、復數(shù),§13.5 復 數(shù),,,內(nèi)容索引,,,,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎知識 自主學習,1.復數(shù)的有關(guān)概念 (1)定義:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù),其中a叫做 ,b叫做 .(i為虛數(shù)單位) (2)分類:,實部,虛部,b=0,b≠0,a=0且b≠0,,知識梳理,1,,答案,(3)復數(shù)相等:a+bi=c+di? (a,b,c,d∈R). (4)共軛復數(shù):a+bi與c+di共軛? (a,b,c,d∈R).,2.復數(shù)的幾何意義,a=c且b=d,a=c,b=-d,|a+bi|,|z|,Z(a,b),,答案,3.復數(shù)的運算 (1)運算法則:設z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.,(a±c)+(b±d)i,(ac-bd)+(bc+ad)i,,答案,(2)幾何意義:復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行. 如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加減法的幾何意義,即 = , = .,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)方程x2+x+1=0沒有解.( ) (2)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中,虛部為bi.( ) (3)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念,因此復數(shù)可以比較大小.( ) (4)原點是實軸與虛軸的交點.( ) (5)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離,也就是復數(shù)對應的向量的模.( ),×,×,×,√,√,思考辨析,,答案,1.(2015·安徽改編)設i是虛數(shù)單位,則復數(shù)(1-i)(1+2i)=__________.,解析 (1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=1+i+2=3+i.,3+i,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.(2015·課標全國Ⅰ改編)已知復數(shù)z滿足(z-1)i=1+i,則z=__________.,解析 由(z-1)i=1+i,兩邊同乘以-i, 則有z-1=1-i,所以z=2-i.,2-i,,解析答案,1,2,3,4,5,3.在復平面內(nèi),復數(shù)6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點,則點C對應的復數(shù)是_______.,解析 ∵A(6,5),B(-2,3), ∴線段AB的中點C(2,4), 則點C對應的復數(shù)為z=2+4i.,2+4i,,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若a+i=2-bi,則(a+bi)2=__________.,解析 ∵a,b∈R,a+i=2-bi, ∴a=2,b=-1, ∴(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.,3-4i,,解析答案,1,2,3,4,5,∴z=2+i.,2+i,,1,2,3,4,5,解析答案,返回,,題型分類 深度剖析,3,,,題型一 復數(shù)的概念,,解析答案,1,,解析答案,(3)若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i,則“m=1”是“z1=z2”的____________條件.,所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要條件.,充分不必要,,解析答案,∴|a-3|=3,∴a=0或a=6.,引申探究,,解析答案,-4,,解析答案,思維升華,,解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項 (1)復數(shù)的分類及對應點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題,只需把復數(shù)化為代數(shù)形式,列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可. (2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實部和虛部.,思維升華,(1)若復數(shù)z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數(shù),則實數(shù)x的值為________.,-1,,解析答案,跟蹤訓練1,(2)(2014·浙江改編)已知i是虛數(shù)單位,a,b∈R,則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的___________條件.,解析 當a=b=1時,(a+bi)2=(1+i)2=2i;,解得a=b=1或a=b=-1, 所以“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要條件.,充分不必要,,解析答案,命題點1 復數(shù)的乘法運算,例2 (1)(2015·湖北改編)i為虛數(shù)單位,i607的共軛復數(shù)為________.,解析 方法一 i607=i4×151+3=i3=-i,其共軛復數(shù)為i.,i,,,題型二 復數(shù)的運算,,解析答案,(2)(2015·北京改編)復數(shù)i(2-i)=________.,解析 i(2-i)=2i-i2=1+2i.,1+2i,,解析答案,命題點2 復數(shù)的除法運算,-1-i,,解析答案,-1+i,,解析答案,命題點3 復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合問題,例4 (1)(2015·天津)i是虛數(shù)單位,若復數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為________.,解析 (1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i, 由已知,得a+2=0,1-2a≠0, ∴a=-2.,-2,,解析答案,(2)(2014·江蘇)已知復數(shù)z=(5+2i)2(i為虛數(shù)單位),則z的實部為________.,解析 因為z=(5+2i)2=25+20i+(2i)2 =25+20i-4=21+20i, 所以z的實部為21.,21,,解析答案,命題點4 復數(shù)的綜合運算,2,,解析答案,(2)若復數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為________.,解析 設z=a+bi, 故(3-4i)(a+bi)=3a+3bi-4ai+4b=|4+3i|,,,解析答案,思維升華,,復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略 (1)復數(shù)的乘法.復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可. (2)復數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式. (3)復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題,先利用復數(shù)的運算法則化簡,一般化為a+bi(a,b∈R)的形式,再結(jié)合相關(guān)定義解答. (4)復數(shù)的運算與復數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復數(shù)的運算法則化簡,一般化為a+bi(a,b∈R)的形式,再結(jié)合復數(shù)的幾何意義解答. (5)復數(shù)的綜合運算.分別運用復數(shù)的乘法、除法法則進行運算,要注意運算順序,要先算乘除,后算加減,有括號要先算括號里面的.,思維升華,∴z=1-i.,1-i,,解析答案,跟蹤訓練2,1,,解析答案,=i+i4×252=1+i.,1+i,,解析答案,例6 (1)△ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1,z2,z3,若復數(shù)z滿足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,則z對應的點為△ABC的________. ①內(nèi)心 ②垂心 ③重心 ④外心,解析 由幾何意義知,復數(shù)z對應的點到△ABC三個頂點距離都相等,z對應的點是△ABC的外心.,④,,,題型三 復數(shù)的幾何意義,,解析答案,(2)如圖所示,平行四邊形OABC,頂點O,A,C分別表示0, 3+2i,-2+4i,試求:,,解析答案,③B點對應的復數(shù).,即B點對應的復數(shù)為1+6i.,,解析答案,思維升華,,因為復平面內(nèi)的點、向量及向量對應的復數(shù)是一一對應的,要求某個向量對應的復數(shù)時,只要找出所求向量的始點和終點,或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.,思維升華,(1)如圖,在復平面內(nèi),點A表示復數(shù)z,圖中表示z 的共軛復數(shù)的點是________.,解析 表示復數(shù)z的點A與表示z的共軛復數(shù)的點關(guān)于x軸對稱,,B,,解析答案,跟蹤訓練3,解 設z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=-2.,由題意得x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,,∴實數(shù)a的取值范圍是(2,6).,,解析答案,返回,,思想與方法系列,典例 (14分)已知x,y為共軛復數(shù),且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.,思維點撥 (1)x,y為共軛復數(shù),可用復數(shù)的基本形式表示出來; (2)利用復數(shù)相等,將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.,,思想與方法系列,24. 解決復數(shù)問題的實數(shù)化思想,,解析答案,思維點撥,溫馨提醒,返回,規(guī)范解答 解 設x=a+bi (a,b∈R),則y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,[3分] 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i, [5分],故所求復數(shù)為,,溫馨提醒,,(1)復數(shù)問題要把握一點,即復數(shù)問題實數(shù)化,這是解決復數(shù)問題最基本的思想方法. (2)本題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復數(shù)的基本形式表示出來,再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學方法. (3)本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法,或不能將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.,,返回,溫馨提醒,,思想方法 感悟提高,1.復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程. 2.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是由它的實部和虛部唯一確定的,兩個復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法.對于一個復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),既要從整體的角度去認識它,把復數(shù)看成一個整體,又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認識. 3.在復數(shù)的幾何意義中,加法和減法對應向量的三角形法則,其方向是應注意的問題,平移往往和加法、減法相結(jié)合.,方法與技巧,1.判定復數(shù)是實數(shù),僅注重虛部等于0是不夠的,還需考慮它的實部是否有意義. 2.兩個虛數(shù)不能比較大小. 3.注意復數(shù)的虛部是指在a+bi(a,b∈R)中的實數(shù)b,即虛部是一個實數(shù).,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.(2015·福建改編)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于__________.,解析 ∵(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi, ∴a=3,b=-2.,3,-2,16,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,3.(2015·課標全國Ⅱ改編)若a為實數(shù),且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=________.,解析 因為a為實數(shù),且(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i, 得4a=0且a2-4=-4,解得a=0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,解析 由題圖知復數(shù)z=3+i,,H,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,∴2z=-2i+2,∴z=1-i.,1-i,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,6.(2015·江蘇)設復數(shù)z滿足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,解析 ∵f(1-i)=(1+i)(1-i)=2, ∴f[f(1-i)]=f(2)=1+2=3.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,8.復數(shù)(3+i)m-(2+i)對應的點在第三象限內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是________.,解析 z=(3m-2)+(m-1)i,其對應點(3m-2,m-1)在第三象限內(nèi),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3. 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5且a≠1,故a=3.,11.復數(shù)z1,z2滿足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R), 并且z1=z2,則λ的取值范圍是____________.,化簡得4-4cos2θ=λ+3sin θ,,由此可得λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin2θ)-3sin θ+4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,…, ∴集合中共有3個元素.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,∴(x-2)2+y2=3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,14.已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},則實數(shù)m的值為________.,解析 ∵M∩N={3},∴3∈M且-1?M, ∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3或m=3, ∴m2-5m-6=0且m≠-1或m=3, 解得m=6或m=3.,3或6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,∴b=-2,c=3.,-2,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,16.若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件:,這樣的虛數(shù)是否存在?若存在,求出z;若不存在,請說明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析答案,返回,解 這樣的虛數(shù)存在,z=-1-2i或z=-2-i. 設z=a+bi(a,b∈R且b≠0),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又∵b≠0,∴a2+b2=5. ① 又z+3=(a+3)+bi的實部與虛部互為相反數(shù), ∴a+3+b=0. ②,,解析答案,故存在虛數(shù)z,z=-1-2i或z=-2-i.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,返回,- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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