,第十章 計數(shù)原理和概率,1了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率區(qū)別 2了解兩個互斥事件的概率加法公式 請注意 1多以選擇題或填空題的形式直接考查互斥事件的概率及運算，而隨機事件的有關概念和頻率很少直接考查 2互斥事件、對立事件發(fā)生的概率問題有時也會出現(xiàn)在解答題中，多為應用問題,1隨機事件及其概率 (1)必然事件：_ (2)不可能事件：_ (3)隨機事件：_,在一定條件下必然要發(fā)生的事件,在一定條件下不可能發(fā)生的事件,在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,頻率,常數(shù),2事件的關系與運算 (1)一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，事件B_發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱A包含于事件B)，記作 (或 ) (2)若 ，且 ，則稱事件A與事件B相等，記作AB. (3)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生 事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或 )，記作 _(或 ),一定,BA,AB,BA,AB,或,和事件,AB,AB,(4)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生 事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A事件B的交事件(或 )，記作_ (5)若AB為不可能事件，(AB)，則稱事件A與事件B互斥，其含義是：_ (6)若AB為不可能事件，AB為必然事件，則稱事件A與事件B ，其含義是：_,且,積事件,AB(或AB),事件A與事件B在任一次試驗中不會同時發(fā)生,互為對立,事件A與事件B在任一次試驗中有且僅有一個發(fā)生,3概率的幾個基本性質 (1)概率的取值范圍為 . (2)必然事件的概率為 . (3)不可能事件的概率為 . (4)互斥事件概率的加法公式： 若事件A與事件B互斥，則P(AB) 特別地，若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)_,0P(A)1,1,0,P(A)P(B),1P(B),1判斷下面結論是否正確(打“”或“×”) (1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的 (2)隨機事件和隨機試驗是一回事 (3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值 (4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生 (5)若隨機事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0P(A)1. (6)6張券中只有一張有獎，若甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率 答案 (1)× (2)× (3) (4)× (5) (6)×,2某人在打靶時，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( ) A至多有1次中靶 B2次都中 C2次都不中靶 D只有1次中靶 答案 C,3從一堆產品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是對立事件的是( ) A恰好有1件次品和恰好有2件次品 B至少有1件次品和全是次品 C至少有1件正品和至少有1件次品 D至少有1件次品和全是正品 答案 A 解析 依據(jù)互斥和對立事件的定義知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是對立事件；只有A是互斥事件但不是對立事件,4擲一枚均勻的硬幣兩次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，則下列結果正確的是( ),答案 D,6將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為_,例1 某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩個同時在地鐵第1號車站(首車站)乘車假設每人自第2號車站開始，在每個車站下車是等可能的約定用有序數(shù)對(x，y)表示“甲在x號車站下車，乙在y號車站下車” (1)用有序數(shù)對把甲、乙兩人下車的所有可能的結果列舉出來； (2)求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率； (3)求甲、乙兩人同在第4號車站下車的概率,題型一 隨機事件及概率,【解析】 (1)用有序數(shù)對(x，y)表示甲在x號車站下車，乙在y號車站下車，則甲下車的站號記為2,3,4共3種結果，乙下車的站號也是2,3,4共3種結果甲、乙兩個下車的所有可能結果有9種，分別為：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,2)，(4,3)，(4,4),探究1 解決這類問題的方法是弄清隨機試驗的意義和每個事件的含義判斷一個事件是必然事件、不可能事件、隨機事件的依據(jù)是在一定的條件下，所要求的結果是否一定出現(xiàn)、不可能出現(xiàn)或可能出現(xiàn)、可能不出現(xiàn)隨機事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生所包含的結果數(shù)與該試驗包含的所有結果數(shù)的比,同時擲兩顆骰子一次， (1)“點數(shù)之和是13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“點數(shù)之和在213范圍之內”是什么事件？其概率是多少？ (3)“點數(shù)之和是7”是什么事件？其概率是多少？ 【思路】 依定義及概率公式解答,思考題1,例2 某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”判斷下列事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件： (1)A與C； (2)B與E； (3)B與C； (4)C與E.,題型二 隨機事件的關系,【解析】 (1)由于事件C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件 (2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件；由于事件B發(fā)生會導致事件E一定不發(fā)生，且事件E發(fā)生會導致事件B一定不發(fā)生，故B與E還是對立事件,(3)事件B“至少訂一種報紙”中有這些可能：“只訂甲報紙”“只訂乙報紙”“訂甲、乙兩種報紙”，事件C“至多訂一種報紙”中有這些可能：“一種報紙也不訂”“只訂甲報紙”“只訂乙報紙”，由于這兩個事件可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件 (4)由(3)的分析，事件E“一種報紙也不訂”是事件C的一種可能，即事件C與事件E有可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件 【答案】 (1)不互斥 (2)互斥還對立 (3)不互斥 (4)不互斥,探究2 對互斥事件要把握住不同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應為必然事件，這些也可類比集合進行理解，具體應用時，可把所有試驗結果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結果，從而斷定所給事件的關系,(1)對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈設A兩次都擊中飛機，B兩次都沒擊中飛機，C恰有一彈擊中飛機，D至少有一彈擊中飛機，其中彼此互斥的事件是_，互為對立事件的是_ 【解析】 設I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因為AB，AC，BC，BD. 故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而BD，BDI，故B與D互為對立事件 【答案】 A與B，A與C，B與C，B與D，B與D,思考題2,(2)在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別為0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是( ) AAB與C是互斥事件，也是對立事件 BAB與D是互斥事件，也是對立事件 CAC與BD是互斥事件，但不是對立事件 DA與BCD是互斥事件，也是對立事件,【解析】 由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一個必然事件，故其事件間的關系可由如圖所示的韋恩圖表示，由圖可知，任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件同，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件 【答案】 D,例3 如圖所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：,題型三 隨機事件的頻率與概率,(1)試估計40分鐘不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率， (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑,【解析】 (1)由已民知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站有121216444人 用頻率估計相應的概率為0.44. (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得頻率為,(3)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站； B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站由(2)和P(A1)0.10.20.30.6， P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)， 甲應選擇L1； P(B1)0.10.20.30.20.8， P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)， 乙應選擇L2. 【答案】 (1)0.44 (2)略 (3)甲應選擇L1，乙應選擇L2,探究3 頻率是個不確定的數(shù)，在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生可能性的大小，但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小，通過大量重復試驗可以發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某個固定的值，這個值就是概率,某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優(yōu)質品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：,思考題3,A配方的頻數(shù)分布表 B配方的頻數(shù)分布表,【答案】 (1)用A配方優(yōu)質品率約為0.3，用B配方優(yōu)質品率約為0.42 (2)2.68元,例4 (1)某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下： 求：派出醫(yī)生至多是2人的概率； 派出醫(yī)生至少是2人的概率,題型四 互斥與對立概念的初步應用,【解析】 記事件A：“不派出醫(yī)生”，事件B：“派出1名醫(yī)生”，事件C：“派出2名醫(yī)生”，事件D：“派出3名醫(yī)生”，事件E：“派出4名醫(yī)生”，事件F：“派出不少于5名醫(yī)生” 事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥， 且P(A)0.1，P(B)0.16，P(C)0.3， P(D)0.2，P(E)0.2，P(F)0.04. “派出醫(yī)生至多2人”的概率為 P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.,方法一：“派出醫(yī)生至少2人”的概率為 P(CDEF)P(C)P(D)P(E)P(F)0.30.20.20.040.74. 方法二：“派出醫(yī)生至少2人”與“派出醫(yī)生至多1人”是對立事件， “派出醫(yī)生至多1人”的概率 PP(A)P(B)0.10.160.26， 所以“派出醫(yī)生至少2人”的概率 P01P10.260.74. 【答案】 0.56 0.74,(2)一盒中裝有大小和質地均相同的12個小球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球從中隨機取出1球，求： 取出的小球是紅球或黑球的概率； 取出的小球是紅球或黑球或白球的概率,探究4 (1)解決此類問題，首先要結合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或對立事件，再選擇公式進行計算 (2)求較復雜互斥事件的概率一般有兩種方法：直接法和間接法 特別是在解決至多、至少的有關問題時，?？紤]應用對立事件的概率公式,思考題4,(2)某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計算這個射手在一次射擊中： 射中10環(huán)或7環(huán)的概率； 不夠7環(huán)的概率 【解析】 記“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是為斥事件，“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為AB.故P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.,【答案】 0.49 0.03,1必然事件、不可能事件、隨機事件是在一定條件下發(fā)生的，當條件變化時，事件的性質也發(fā)生變化 2必然事件與不可能事件可看作隨機事件的兩種特殊情況，因此，任何事件發(fā)生的概率都滿足：0P(A)1. 3正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要而不充分條件,1已知甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是對立事件，那么( ) A甲是乙的充分但不必要條件 B甲是乙的必要但不充分條件 C甲是乙的充要條件 D甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 答案 B 解析 對立事件是一種特殊的互斥事件,2將一個骰子拋擲一次，設事件A表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，事件C表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，則( ) AA與B是對立事件 BA與B是互斥而非對立事件 CB與C是互斥而非對立事件 DB與C是對立事件 答案 A,解析 由題意知，事件A包含的基本事件為向上點數(shù)為1,2,3，事件B包含的基本事件為向上的點數(shù)為4,5,6.事件C包含的點數(shù)為1,3,5.A與B是對立事件，故選A.,答案 A 解析 不全是移動卡,4口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率是0.28，若紅球有21個，則黑球有_個 答案 15 解析 10.420.280.30,21÷0.4250,50×0.3015.,5某服務電話，打進的電話響第1聲時被接的概率是0.1；響第2聲時被接的概率是0.2；響第3聲時被接的概率是0.3；響第4聲時被接的概率是0.35. (1)打進的電話在響5聲之前被接的概率是多少？ (2)打進的電話響4聲而不被接的概率是多少？ 答案 (1)0.95 (2)0.05,