,第十章 計數(shù)原理和概率,1了解幾何概型的意義 2了解日常生活中的幾何概型 請注意 縱觀近幾年高考所涉及幾何概型的考查內(nèi)容特點是與實際生活密切相關(guān)，這就要求抓好破勢訓(xùn)練，從不同角度，不同側(cè)面對題目進行分析，查找思維的缺陷,1幾何概型 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 _( 或 )成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為 ,長度,面積,體積,幾何概型,3要切實理解掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有_； (2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有 ,無限多個,等可能性,4幾何概型的試驗中 事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積和體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān) 5求試驗中幾何概型的概率 關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解,1(2014·湖南文)若在區(qū)間2,3上隨機選取一個數(shù)X，則X1的概率為( ),答案 B,2在長為6 m的木棒上任取一點P，使點P到木棒兩端點的距離都大于2 m的概率是( ),答案 B,3有一杯2升的水，其中含一個細菌，若用一個小杯從水中取0.1升水，則此小杯中含有這個細菌的概率是( ) A0.01 B0.02 C0.05 D0.04 答案 C,4(2015·衡水調(diào)研卷)已知正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，則在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球O內(nèi)的概率是( ),答案 C,解析 如圖，m，n的取值在邊長為2的正方形中,例1 (1)在區(qū)間0,3上任取一個數(shù)x，使得不等式x23x20成立的概率為_,題型一 與長度有關(guān)的幾何概型,(2)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過3分鐘的概率是_,(1)(2013·福建理)利用計算機產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為_,思考題1,探究1 一維變量的幾何概率可轉(zhuǎn)化為長度概型,例2 (1)(2014·福建理)如圖所示，若在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_,題型二 與面積有關(guān)的幾何概型,(2)兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20：00至21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率,兩人到達約見地點所有時刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見的所有時刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示,探究2 (1)“面積比”是幾何概率的一種重要概型，既有實際面積比也有可轉(zhuǎn)化為面積比的問題 (2)會面的問題是利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問題的幾何概型，難點是把兩個時間分別用x，y表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(x，y)，從而把時間是一段長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成幾何概型的面積問題 (3)對二元變量問題，一般都可轉(zhuǎn)化為面積的問題,(1)(2015·湖北八校聯(lián)考)正方形的四個頂點A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是_,思考題2,【答案】 D,題型三 與體積有關(guān)的幾何概型,探究3 幾何概型的概率公式中的“幾何度量”，除了前面的長度、面積，也可以是體積，而且只與體積大小有關(guān),(1)若在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點P，則點P到點A的距離不大于a的概率為_,思考題3,(2)有一個底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機抽取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_,例4 過等腰RtABC的直角頂點C在ACB內(nèi)部隨機作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點D，求ADAC的概率,題型四 與角度有關(guān)的幾何概型,【答案】 0.75,探究4 (1)解決概率問題先判斷概型，本題屬于幾何概型，滿足兩個條件：每次試驗的結(jié)果有無限多個，且全體結(jié)果可用一個有度量的幾何區(qū)域表示；每次試驗的各種結(jié)果是等可能的 (2)對于兩個區(qū)域A、B，且AB，當區(qū)域B為平面圖形時，如果點P在整個平面圖形上或線段長度上分布不是等可能的，注意觀察角度是否等可能，若與角度有關(guān)，則可以選擇角度作為區(qū)域的測度當考查對象為線時，一般用角度比計算,思考題4,(2)在直角坐標系內(nèi)，射線OT落在60°的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在xOT內(nèi)的概率,1幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結(jié)果不是有限個它的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)的分布，所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān) 2幾何概型的“約會問題”已經(jīng)是程序化的方式與技巧，必須熟練掌握,答案 C,答案 B,5(2015·重慶一模)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學生小張與小王在早上7：307：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(用數(shù)字作答),解析 在平面直角坐標系中畫出由小王(x)和小張(y)到校的時間對應(yīng)的點(x，y)所構(gòu)成的平面區(qū)域，再畫出小張比小王至少早到5分鐘對應(yīng)的點(x，y)所構(gòu)成的平面區(qū)域，計算出兩區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式計算即可，設(shè)小王到校時間為x，小張到校時間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時滿足xy5.,