,,第十章 計(jì)數(shù)原理和概率,1．了解幾何概型的意義． 2．了解日常生活中的幾何概型． 請(qǐng)注意 縱觀近幾年高考所涉及幾何概型的考查內(nèi)容特點(diǎn)是與實(shí)際生活密切相關(guān)，這就要求抓好破勢(shì)訓(xùn)練，從不同角度，不同側(cè)面對(duì)題目進(jìn)行分析，查找思維的缺陷．,1．幾何概型 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 ______( 或 )成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為 ．,長(zhǎng)度,面積,體積,幾何概型,3．要切實(shí)理解掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有__________； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有 ．,無限多個(gè),等可能性,4．幾何概型的試驗(yàn)中 事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積和體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)． 5．求試驗(yàn)中幾何概型的概率 關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域Ω的幾何度量，然后代入公式即可求解．,1．(2014·湖南文)若在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X≤1的概率為( ),答案 B,2．在長(zhǎng)為6 m的木棒上任取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到木棒兩端點(diǎn)的距離都大于2 m的概率是( ),答案 B,3．有一杯2升的水，其中含一個(gè)細(xì)菌，若用一個(gè)小杯從水中取0.1升水，則此小杯中含有這個(gè)細(xì)菌的概率是( ) A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.04 答案 C,4．(2015·衡水調(diào)研卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，則在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是( ),答案 C,解析 如圖，m，n的取值在邊長(zhǎng)為2的正方形中．,,例1 (1)在區(qū)間[0,3]上任取一個(gè)數(shù)x，使得不等式x2－3x＋20成立的概率為________．,題型一 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,(2)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過3分鐘的概率是________．,(1)(2013·福建理)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－10”發(fā)生的概率為________．,思考題1,探究1 一維變量的幾何概率可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度概型．,例2 (1)(2014·福建理)如圖所示，若在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為________．,題型二 與面積有關(guān)的幾何概型,,(2)兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00至21：00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率．,兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示．,,探究2 (1)“面積比”是幾何概率的一種重要概型，既有實(shí)際面積比也有可轉(zhuǎn)化為面積比的問題． (2)會(huì)面的問題是利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問題的幾何概型，難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x，y表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)，從而把時(shí)間是一段長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成幾何概型的面積問題． (3)對(duì)二元變量問題，一般都可轉(zhuǎn)化為面積的問題．,(1)(2015·湖北八校聯(lián)考)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________．,思考題2,,【答案】 D,題型三 與體積有關(guān)的幾何概型,探究3 幾何概型的概率公式中的“幾何度量”，除了前面的長(zhǎng)度、面積，也可以是體積，而且只與體積大小有關(guān)．,(1)若在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離不大于a的概率為________．,思考題3,(2)有一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)抽取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．,例4 過等腰Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部隨機(jī)作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點(diǎn)D，求ADAC的概率．,題型四 與角度有關(guān)的幾何概型,,【答案】 0.75,探究4 (1)解決概率問題先判斷概型，本題屬于幾何概型，滿足兩個(gè)條件：①每次試驗(yàn)的結(jié)果有無限多個(gè)，且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域表示；②每次試驗(yàn)的各種結(jié)果是等可能的． (2)對(duì)于兩個(gè)區(qū)域A、B，且A?B，當(dāng)區(qū)域B為平面圖形時(shí)，如果點(diǎn)P在整個(gè)平面圖形上或線段長(zhǎng)度上分布不是等可能的，注意觀察角度是否等可能，若與角度有關(guān)，則可以選擇角度作為區(qū)域的測(cè)度．當(dāng)考查對(duì)象為線時(shí)，一般用角度比計(jì)算．,,思考題4,,(2)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率．,,1．幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)．它的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)． 2．幾何概型的“約會(huì)問題”已經(jīng)是程序化的方式與技巧，必須熟練掌握．,答案 C,,答案 B,,,5．(2015·重慶一模)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________．(用數(shù)字作答),解析 在平面直角坐標(biāo)系中畫出由小王(x)和小張(y)到校的時(shí)間對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的平面區(qū)域，再畫出小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的平面區(qū)域，計(jì)算出兩區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式計(jì)算即可，設(shè)小王到校時(shí)間為x，小張到校時(shí)間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿足x－y≥5.,,