,第十章 計數(shù)原理和概率,1了解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求它的期望、方差 2離散型隨機(jī)變量的期望與方差在現(xiàn)實生活中有著重要意義，因此求期望、方差是應(yīng)用題的命題方向 請注意 期望與方差是隨機(jī)變量最重要的兩個特征數(shù)，它們所表示的意義具有很大的實用價值，是高考的熱點之一高考的主要題型有兩種：一是求期望值和方差；二是有關(guān)的應(yīng)用題,1期望與方差 若離散型隨機(jī)變量的概率分布為,標(biāo)準(zhǔn)差,(),2離散型隨機(jī)變量的期望與方差具有下列性質(zhì) (1)離散型隨機(jī)變量的期望E()與方差D()是一個_，它們是隨機(jī)變量本身所固有的一個數(shù)字特征，它們不具有隨機(jī)性 (2)若離散型隨機(jī)變量的一切值位于區(qū)間a，b內(nèi)，E()的取值范圍是 . (3)離散型隨機(jī)變量的期望反映隨機(jī)變量可能取值的_，而方差反映隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度,數(shù)值,aE()b,平均水平,(4)若ab，其中是離散型隨機(jī)變量，a，b為常數(shù)，則E() ，D() (5)離散型隨機(jī)變量的期望與方差若存在則必唯一，期望E()的值既可正也可負(fù)，而方差的值則一定是一個非負(fù)值 (6)D()E( 2)(E()2,aE()b,a2D(),3常見離散型隨機(jī)變量的期望與方差 (1)兩點分布：若隨機(jī)變量滿足P(1)p，P(0)1p，則E() ，D() (2)二項分布：若隨機(jī)變量B(n，p)，則E() ，D() ,p,p(1p),np,np(1p),1判斷下面結(jié)論是否正確(打“”或“×”) (1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān) (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量 (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小,(4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7. 答案 (1)× (2) (3) (4),2設(shè)隨機(jī)變量B(n，p)，且E()1,6，D()1.28，則( ) An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45 答案 A 解析 由E()np1.6，D()np(1p)1.28，檢驗可知n8，p0.2符合,3(2014·陜西理)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數(shù)，i1,2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為( ) A1a,4 B1a,4a C1,4 D1,4a 答案 A,4(2014·上海黃浦二模)某個不透明的袋中裝有除顏色外其他特征完全相同的8個乒乓球(其中3個是白色球，5個是黃色球)，小李同學(xué)從袋中一個一個地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，當(dāng)摸到的球是黃球時停止摸球用隨機(jī)變量表示小李同學(xué)首先摸到黃色乒乓球時的摸球次數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值E()_.,解析 的分布列為,5隨機(jī)變量的分布列如下：,題型一 期望、方差的性質(zhì),探究1 若是隨機(jī)變量，則f()一般仍是隨機(jī)變量，在求的期望和方差時，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運(yùn)算,(1)設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1，x2，x3，x19的公差，隨機(jī)變量等可能地取值x1，x2，x3，x19，則方差D()_.,思考題1,(2)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一個球，表示所取球的標(biāo)號 求的分布列、期望和方差； 若ab，E()1，D()11，試求a，b的值,【解析】 的分布列為,【答案】 E()1.5，D()2.75 a2，b2或a2，b4,例2 一口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球，每次從袋中任意摸出一個球 (1)采取有放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率； (2)采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數(shù)的均值和方差,題型二 期望與方差的計算,X的分布列為,探究2 求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的方法： (1)寫出X的分布列； (2)由均值的定義求E(X)； (3)由方差的定義求D(X),(2014·天津理)某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同) (1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率； (2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望,思考題2,【思路】 (1)利用古典概型的概率公式求解； (2)先確定隨機(jī)變量X的所有取值，求出對應(yīng)的概率，列出分布列，再代入隨機(jī)變量的期望公式求解,題型三 二項分布的均值與方差,探究3 求隨機(jī)變量的期望時，可首先分析是否服從二項分布，若B(n，p)，則用公式E()np求解，可大大減少計算量,思考題3,考生甲正確完成題數(shù)的分布列為,從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；從做對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大因此可以判斷甲的實驗操作能力較強(qiáng) 【答案】 (1)E()甲2，E()乙2 (2)甲的實驗操作能力較強(qiáng),1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差是對隨機(jī)變量的簡明的描寫期望表示在隨機(jī)試驗中隨機(jī)變量取得的平均值；方差表示隨機(jī)變量所取的值相對于它的期望值的集中與離散程度，即取值的穩(wěn)定性把握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的含義，是處理有關(guān)應(yīng)用題的重要環(huán)節(jié),2期望與方差的常用性質(zhì)，掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便： (1)E(ab)aE()b； E()E()E()； D(ab)a2D()； (2)若B(n，p)，則E()np，D()np(1p),1有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取2件，若X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)等于_,答案 B,3(2015·衡水調(diào)研卷)某地消防大隊緊急抽調(diào)1,2,3,4,5號五輛消防車，分配到附近的A，B，C，D四個村子進(jìn)行送水抗旱工作，每個村子至少要安排一輛消防車若這五輛消防車中去A村的輛數(shù)為隨機(jī)變量，則E()的值為( ),答案 D,4馬老師從課本上抄錄的一個隨機(jī)變量的概率分布列如下表： 請小牛同學(xué)計算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同，據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.,答案 2 解析 令“？”為a，“！”為b，則2ab1. 又E()a2b3a2(2ab)2.,所以的分布列為,