3.2立體幾何中的向量方法3.2.1用向量方法解決平行與垂直問題 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1會用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直等位置關(guān)系2會用向量的有關(guān)知識證明線與線、線與面、面與面的垂直與平行 問題1 在空間中給定一個定點A(一個石耳)和一個定方向(繩子方向)，能確定這條直線在空間的位置嗎？提示1 能 問題2 石墩夯實地面的過程中，石墩所在的直線和地面垂直嗎？提示2 垂 直 1直線的方向向量的定義直線的方向向量是指和這條直線_的向量2平面的法向量的定義直線l ，取直線l的_，則a叫做平面的法向量直線的方向向量與平面的法向量共線或平行方向向量a 空間中平行關(guān)系的向量表示線線平行設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則lm _線面平行設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面的法向量為u(a2，b2，c2)，則l _面面平行設(shè)，的法向量分別為u(a1，b1，c1)，v(a2，b 2，c2)，則 _ab au0 u v uv 空間垂直關(guān)系的向量表示a b a u uv0 對空間垂直關(guān)系的幾點認(rèn)識空間中的垂直關(guān)系包括線線垂直、線面垂直和面面垂直，這幾種垂直關(guān)系是可以相互轉(zhuǎn)化的，判定或證明垂直關(guān)系的方法主要是用判定定理或直線的方向向量、平面的法向量間的關(guān)系進(jìn)行的 1若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為n(2,0,4)，則()Al Bl Cl Dl與斜交解析：a ( 1,0,2)， n ( 2,0,4)， n 2a，na，l.答案：B 3已知平面上兩個不共線向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，則平面的一個法向量為_ 合作探究 課堂互動 正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，A1B1的中點，求平面EFBD的一個法向量求空間平面的法向量 (2)求平面法向量的常見類型已知平面內(nèi)三個點的坐標(biāo)，求這三個點確定的平面的法向量；一個幾何體中存在線面垂直關(guān)系，在建立空間直角坐標(biāo)系后，平面的垂線的方向向量即為平面的法向量；在幾何體中找到平面內(nèi)已知點的坐標(biāo)或找到與平面平行的向量，然后求平面的法向量 1已知平面經(jīng)過三點A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，試求平面的一個法向量 如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點，證明：PQ RS.用向量證明平行問題 用向量方法證明空間中的平行關(guān)系 線線平行設(shè)直線l1，l2的方向向量分別是a，b，則要證明l1l2，只需證明ab，即akb(kR)線面平行設(shè)直線l的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明l，只需證明au，即au0.根據(jù)線面平行判定定理，在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可證明一條直線l與一個平面平行，只需證明l的方向向量能用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示面面平行轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行求出平面，的法向量u，v，證明uv，即可說明 2在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中點，求證：B1C平面ODC1. 用向量證明垂直問題 空間中垂直關(guān)系的證明方法(1)線線垂直：可以證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0.可以證明兩直線所成角為直角(2)線面垂直：根據(jù)判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直證明直線的方向向量與平面的法向量平行(3)面面垂直：根據(jù)判定定理證明線面垂直證明兩個平面的法向量垂直 3已知M，N，P分別是正方體ABCDA1B1C1D1中的棱CC1，BC，CD的中點，求證：A1P平面DMN. 已知u是平面的法向量，a是直線l的方向向量，若u(4,1，5)，a(2，8,0)，試判斷l(xiāng)與的位置關(guān)系【錯解】ua 8 8 0，ua，l.【錯因】錯解中忽視了直線與平面平行和向量與平面平行的不同【正解】ua 8 8 0，ua，l或 l .