三 排 序 不 等 式 2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 n21 1 2 2( . ) ( . )( . )n na a a b b ba b a b a b 定 理 設 nn bbbbaaaa ,.,., 321321 是 實 數(shù) ， 則當 且 僅 當 (i=1,2,n) 或 存 在 一 個 數(shù) k使 得 (i=1,2,n) 時 等 號 成 立 。 以 上 不 等 式 稱 為 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 。0ib ii kba 知 識 回 顧 ： 一 般 形 式 的 三 角 不 等 式2 2 2 2 2 21 2 1 22 2 21 1 2 2. .( ) ( ) . ( )( , , 1,2,., ).n nn n i ix x x y y yx y x y x yx y R i n 1 21 1 2 1 2 1 2 1 211 2 1 1 1 1 21 222 2, . , . . . . . . . .n nn n n n n n n nnna b c c c b ba b aa b a ba a b ba c aa b a b cba a a b b ba c n 定 理 （ 排 序 不 等 式 ， 又 稱 排 序 原 理 ）設 為 兩 組實 數(shù) 是 的 任 一 排 列 ，那 么 ：當 且 僅 當 或 時 , 反 序 和 等 ， b于 順 序 和 。反 序 和 亂 序 和 順 序 和 例 1 ： 有 10人 各 拿 一 只 水 桶 去 接 水 ， 設 水龍 頭 注 滿 第 i(i=1,2,10)個 人 的 水 桶 需 要ti分 ， 假 定 這 些 ti各 不 相 同 。問 ： 只 有 一 個 水 龍 頭 時 ， 應 該 如 何 安 排 10人 的 順 序 ， 使 他 們 等 候 的 總 時 間 最 少 ？這 個 最 少 的 總 時 間 等 于 多 少 ？ 解 ： 總 時 間 (分 ） 是 10t1+9t2+2t9+t10根 據(jù) 排 序 不 等 式 ， 當 t1t2t9t10時 ，總 時 間 取 最 小 值 。即 ： 按 水 桶 的 大 小 由 小 到 大 依 次 接 水 ，則 10人 等 候 的 總 時 間 最 少 。最 少 的 總 時 間 是 : 10t1+9t2+2t9+t10 例 2 設 a1,a2,an是 n個 互 不 相 等 的 正 整 數(shù) ，求 證 ： 321 2 2 21 1 11 . .2 3 2 3 na aaan n 證 明 ： 設 b1,b2,bn是 a1,a2,an的 一 個 排 列 ， 且 有 b1b2bn因 為 b1,b2,bn是 互 不 相 等 的 正 整 數(shù) ，所 以 b11,b22,bnn. 2 2 21 1 11 .2 3 n 3 32 21 12 2 2 2 2 2. .2 3 2 3n na a b ba ba bn n 又 因由 排 序 不 等 式 ， 得 ：2 2 21 1 1 1 1 11 1 2 3 . 1 .2 3 2 3n n n 1 2 2 2 21 1 2 2 1 21 2 1 2, ,.,. . , ,., , ,.,1 .n n n nn na a aac a c a c a a ac c c a a a 為 實 數(shù) ， 證 明 ：其 中 是 的.設 任 一 排 列 。練 習 3 3 3 2 2 22. , ,2( ) ( ) ( ) ( ).a b ca b c a b c b a c c a b 已 知 為 正 數(shù) ， 用 排 序 不 等 式 證 明練 習 1 21 1 21 21 2 1 211 2 11 1 1 21 222 2, . , . . . . . . .n nn n n nn n nnnna b c c c b ba b aa b a ba a b ba c aa b a b cba a a b b ba c n定 理 （ 排 序 不 等 式 ， 又 稱 排 序 定 理 ）設 為 兩 組實 數(shù) 是 的 任 一 排 列 ， 那 么 ：當 且 僅 當 或 時 ,反 序 和 等 ， b于 順 序 和 。反 序 和 亂 序 和 順 序 和小 結(jié) 作 業(yè) P45 第 3， 4題 1 2 1 2 3, ,., .na a aa a a a a a a a aa a a 1 2 2 3 3 13 1 2為 正 數(shù) ， 求3 證.設 練 習 1 2 2 22 2 11 2 1 22 3 14. , ,.,. . .n n n nna a aa aa a a a aa a a a 設 為 正 數(shù) ， 試 分 別 用 柯 西不 等 式 與 排 序 不 等 式 證 明 練 習