4.3 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),考綱要求:1.能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數(shù)的周期性. 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等),理解正切函數(shù)在 內(nèi)的單調(diào)性.,2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì),3.對稱與周期:正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是 周期;正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期.,2,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“×”. (1)y=cos x在第一、二象限內(nèi)是減函數(shù). ( ) (2)y=ksin x+1,xR,則y的最大值是k+1. ( ) (3)由 是正弦函數(shù)y=sin x(xR)的一個周期. ( ) (4)函數(shù)y=sin x的對稱軸方程為x=2k+ (kZ).( ) (5)函數(shù)y=tan x在整個定義域上是增函數(shù). ( ),×,×,×,×,×,2,3,4,1,5,答案,解析,2,3,4,1,5,3.下列函數(shù)中,最小正周期為的奇函數(shù)是( ) A.y=cos x B.y=sin 2x C.y=tan 2x D.y=sin,答案,解析,2,3,4,1,5,答案,解析,2,3,4,1,5,5.函數(shù)y=3cos 的遞增區(qū)間是 .,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點評 1.判斷函數(shù)周期不能以特殊代一般,只有x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),T才是函數(shù)f(x)的一個周期. 2.求函數(shù)y=Asin(x+)的單調(diào)區(qū)間時,應(yīng)注意的符號,只有當(dāng)0時,才能把(x+)看作一個整體,代入y=sin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解. 3.函數(shù)y=sin x與y=cos x的對稱軸分別是經(jīng)過其圖像的最高點或最低點且平行于y軸的直線,如y=cos x的對稱軸為x=k(kZ),而不是x=2k(kZ). 4.對于y=tan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù),而是在每個區(qū)間 (kZ)內(nèi)為增函數(shù).,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1三角函數(shù)的定義域、值域 例1(1)函數(shù)y= 的定義域為 .,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)函數(shù)y=cos 2x+2sin x的最大值為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:如何求三角函數(shù)的定義域?求三角函數(shù)值域的常用方法有哪些? 解題心得:1.求三角函數(shù)定義域通常解三角不等式(組),解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖像. 2.求三角函數(shù)值域、最值的方法有: (1)利用sin x和cos x的值域直接求. (2)形如y=asin x+bcos x的三角函數(shù)化為y=Asin(x+)的形式求值域;形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可先設(shè)sin x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值). (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練1 (1)已知f(x)的定義域為0,1,則f(cos x)的定義域為 . (2)函數(shù)y=sin x-cos x+sin x·cos x,x0,的最值為 . (3)若函數(shù)f(x)=(1+ tan x)cos x,x ,則f(x)的最大值為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2三角函數(shù)的單調(diào)性 例2(1)已知函數(shù)f(x)= sin x+cos x(0),y=f(x)的圖像與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般思路是怎樣的?已知單調(diào)區(qū)間如何求參數(shù)的范圍? 解題心得:1.求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先把三角函數(shù)式化簡成y=Asin(x+)的形式,再求y=Asin(x+)的單調(diào)區(qū)間,只需把(x+)看作一個整體代入y=sin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把化為正數(shù). 2.已知函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)求參數(shù)的范圍的解法:先確定出已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用已知的單調(diào)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集的關(guān)系求解.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練2 (1)已知函數(shù)f(x)=-2sin(2x+)(-),若 =-2,則f(x)的一個單調(diào)減區(qū)間是( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(3)函數(shù)f(x)=sin 的遞減區(qū)間為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性(多維探究),類型一 求三角函數(shù)的周期 例3(2015四川,文5)下列函數(shù)中,最小正周期為的奇函數(shù)是( ),答案,解析,類型一 求三角函數(shù)的周期 例3(2015四川,理4)下列函數(shù)中,最小正周期為且圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)是( ) C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 思考:求三角函數(shù)的周期的一般思路是什么?,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性(多維探究),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,類型二 已知三角函數(shù)周期性判斷對稱性 例4已知函數(shù)f(x)=sin -1(0)的最小正周期為 ,則f(x)的圖像的一條對稱軸方程是( ) 思考:如何求三角函數(shù)的對稱軸及對稱中心?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,類型三 已知周期性、奇偶性判斷單調(diào)性 例5設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x+) 的最小正周期為,且f(-x)=f(x),則 ( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:已知三角函數(shù)的周期性、奇偶性判斷其單調(diào)性的基本思路是什么? 解題心得:1.若求最小正周期,可先把所給三角函數(shù)式化為y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式,則最小正周期為 ;奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y=Asin x或y=Acos x+b的形式. 2.求三角函數(shù)的對稱軸及對稱中心,須先把所給三角函數(shù)式化為y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式,把(x+)整體看成一個變量,若求f(x)=Asin(x+)(0)的對稱軸,只需令x+= +k(kZ),求x;若求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo),只需令x+=k(kZ),求x.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,3.已知三角函數(shù)的周期性、奇偶性判斷其單調(diào)性的基本思路是:根據(jù)給出的三角函數(shù)的周期性、奇偶性求出三角函數(shù)式中的參數(shù),然后把三角函數(shù)式化成y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式再判斷其單調(diào)性.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練3 (1)函數(shù)y=2cos2 -1是( ) A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù) C.最小正周期為 的奇函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(4)(2015長沙一模)若函數(shù)f(x)=2tan 的最小正周期T滿足1T2,則自然數(shù)k的值為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.正弦、余弦函數(shù)的最小正周期為T=2,函數(shù)y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b的周期是 ;正切函數(shù)的 2.討論三角函數(shù)的性質(zhì),應(yīng)先把函數(shù)式化成y=Asin(x+)(0)或y=Acos(x+)(0)的形式,其性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t=x+,將其轉(zhuǎn)化為研究y=Asin t或y=Acos t的性質(zhì).,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,當(dāng)單調(diào)區(qū)間有無窮多個時,別忘了注明kZ. 2.求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.,