第 2章2.1合情推理與演繹推理 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.學(xué)習(xí)目標(biāo) 欄目索引 知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾 知識(shí)梳理 自 主 學(xué) 習(xí)知識(shí)點(diǎn)一推理的定義與結(jié)構(gòu)形式1.定義：從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱為推理.2.結(jié)構(gòu)形式：從結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)，推理一般分為兩部分，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))，叫做 ，另一部分是由已知判斷推出的新的判斷，叫做 .思考(1)依據(jù)部分對(duì)象得到的推理結(jié)論可靠嗎？答案不一定完全可靠.(2)推理一般用哪些關(guān)聯(lián)詞？答案推理一般可用關(guān)聯(lián)詞將“前提”和“結(jié)論”聯(lián)結(jié)，常用的關(guān)聯(lián)詞有“因?yàn)?所以 ” “根據(jù) 可知 ” “如果 那么 ”“若 則 ” . 答案 前提結(jié)論 知識(shí)點(diǎn)二歸納推理與類比推理 答案 定義特征一般模式思維過(guò)程歸納推理從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理歸納推理是由 、由_的推理S1具有性質(zhì)PS2具有性質(zhì)P S n具有性質(zhì)P ( S 1，S2，Sn是A類事物對(duì)象)所以A類事物具有性質(zhì)P實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論部分到整體個(gè)別到一般 答案 類比推理根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?像這樣的推理通常稱為類比推理類比推理是由 的推理A類事物具有性質(zhì)a，b，c，dB類事物具有性質(zhì)a，b，c (a，b，c與a，b，c相似或相同)所以B類事物可能具有性質(zhì)d觀察、比較聯(lián)想、類推猜測(cè)新的結(jié)論特殊到特殊 思考?xì)w納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？答案歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確.類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠. 答案 知識(shí)點(diǎn)三合情推理1.合情推理的含義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程.歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理.2.合情推理的過(guò)程思考由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？答案一般來(lái)說(shuō)，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費(fèi)馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了. 答案返回 題型探究 重 點(diǎn) 突 破 解析答案 題型一歸納推理的應(yīng)用例1已知數(shù)列an的第1項(xiàng)a12，且an1 (n1,2， )，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.由此發(fā)現(xiàn)分母依次為1,3,5,7，分子都是2. 反思與感悟 反思與感悟求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的一般方法：(1)根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)(有時(shí)題目已給出)，如a1，a2，a3等；(2)通過(guò)這些項(xiàng)找出項(xiàng)與序號(hào)之間的一般規(guī)律，歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. 解析答案 (1)求出S1，S2，S3，S4； 解析答案 (2)猜想該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn并證明. 解析答案 題型二類比推理的應(yīng)用例2在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊AB，BC所成的角分別為，則cos2cos21.在立體幾何中，通過(guò)類比，給出猜想并證明. 反思與感悟 于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想若其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21.證明如下：如圖(2)， 反思與感悟 反思與感悟類比推理是一種主觀的不充分的推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯論證.一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)越相關(guān)，那么類比得到的命題就越可靠.類比的關(guān)鍵是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性或相似性確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚. 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2“若直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，將其補(bǔ)成一個(gè)矩形，則根據(jù)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)可求得該直角三角形外接圓的半徑r ” .對(duì)于“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為a，b，c”，類比上述處理方法，可得該三棱錐的外接球的半徑R_.解析由求直角三角形外接圓的半徑的方法，通過(guò)類比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為：首先將該三棱錐補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)就是三棱錐的外接球的直徑，從而得出該三棱錐的外接球的半徑R . 歸納推理、類比推理都是合情推理，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理；而類比推理則是通過(guò)某兩類對(duì)象在對(duì)比中啟發(fā)猜想結(jié)論.這些結(jié)論未必正確，要進(jìn)一步驗(yàn)證(或證明)其正確性.例3設(shè)f(n)n2n41，n N*，計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(10)的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n40驗(yàn)證猜想是否正確.易錯(cuò)易混 合情推理的應(yīng)用 解析答案返回 解f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)8 2841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.解析答案 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是質(zhì)數(shù)，歸納猜想：當(dāng)n N*時(shí)，f(n)n2n41的值都為質(zhì)數(shù).驗(yàn)證：當(dāng)n40時(shí)，f(40)402404140(401)414141. f(40)是合數(shù)，由上面歸納推理得到的猜想不正確. 返回 當(dāng)堂檢測(cè) 解析答案而分母b則為該數(shù)的平方減1. 6 35 解析答案類比正切的和角公式， nx xn n 個(gè) nn解析答案 答案 解析答案 5.根據(jù)下列條件，寫(xiě)出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式.(1)a13，an12an1；解由已知可得a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.猜想an2n11 (n N*). 解析答案 解析答案對(duì)一切的n N*，an0， a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(n N*). 課堂小結(jié) 返回 1.歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想).2.類比推理的一般步驟：(1)找出兩類對(duì)象之間的相似性或一致性；(2)用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).