第 四 講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一數(shù)學(xué)歸納法 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2.了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題. 1.數(shù)學(xué)歸納法的原理(重點(diǎn))2.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用(難點(diǎn)) 預(yù)習(xí)學(xué)案 2ab 比較法 分析法 綜合法 1數(shù)學(xué)歸納法的概念一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)_時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)_時(shí)命題成立，證明_時(shí)命題也成立在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法nn0nk(k N，且kn0)nk1 2數(shù)學(xué)歸納法的基本過程 3設(shè)凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解釋：由凸多邊形性質(zhì)知多加了一條邊內(nèi)角和比原來多了.答案： 課堂學(xué)案 用數(shù)學(xué)歸納法證等式 求證：二項(xiàng)式x2ny2n(n N)能被xy整除思路點(diǎn)撥由假設(shè)以x2k2為主進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出nk的歸納假設(shè)，剩余部分仍能被xy整除證整除問題 解題過程(1)當(dāng)n1時(shí)，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)，x2ky2k能被xy整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，即x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x 2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1時(shí)，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，對任意的正整數(shù)n命題均成立 2已知f(n)(2n7)3n9，是否存在自然數(shù)m，使得對任意n N都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由思路點(diǎn)撥利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式，這就往往要涉及“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”等變形技巧 解析：f(1)36，f(2)108，f(3)360，f(4)1 224，猜想能整除f(n)的最大整數(shù)是36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)36能被36整除；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，f(k)能被36整除，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3 k918(3k11)， 由歸納假設(shè)3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶數(shù)18(3k11)能被36整除，f(k1)能被36整除由(1)(2)得f(n)能被36整除由于f(1)36，故整除f(n)的最大整數(shù)是36. 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 3在本例中，探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少？并加以證明思路點(diǎn)撥利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由nk到nk1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律 解析：n的最小值應(yīng)該為2，當(dāng)n2時(shí)，有4條射線，當(dāng)n3時(shí)，如圖有3條線段6條射線，共9條線段或射線 當(dāng)n4時(shí)，不妨取出一條直線l1，則剩余3條直線l2，l3，l4相互分割成9條線段或射線而l1與l2，l3，l4有3個(gè)交點(diǎn)，這3個(gè)交點(diǎn)將l1分割為2條線段，2條射線而l2，l3，l4上又各多出1個(gè)交點(diǎn)，因此l2，l3，l4又被這一交點(diǎn)多分割出一條線段或射線，多出437條n4時(shí)，有16條由此推測，n條直線相互分割成n2條射線或線段，設(shè)(n)n 2(n2，且nN) 證明如下：(1)當(dāng)n2時(shí)，顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN)時(shí)，結(jié)論成立，(k)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，設(shè)有l(wèi)1，l2，lk，lk1共k1條直線，滿足題設(shè)條件不妨取出直線l1. 余下的k條直線l2，l3，lk，lk1互相分割成(k)k2條射線或線段直線l1與這k條直線恰有k個(gè)交點(diǎn)，則直線l1被這k個(gè)交點(diǎn)分成k1條射線或線段k條直線l2，l3，lk1中的每一條都與l1恰有一個(gè)交點(diǎn)，因此每條直線又被這一個(gè)交點(diǎn)多分割出一條射線或線段，共有k條故(k1)(k)k1kk22k1(k1)2.當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論正確由(1)(2)可知，上述結(jié)論對一切n2，且nN 都成立 1數(shù)學(xué)歸納法的概念先證明當(dāng)n取第一值n0(例如可取n01)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)nk(k N，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明數(shù)學(xué)歸納法 在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中，從“nk”到“nk1”的過渡中，利用歸納假設(shè)是比較困難的一步，它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題一樣，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來，而證明不等式的第二步中，從“nk”到“nk1”，只用拼湊的方法，有時(shí)也行不通，因?yàn)閷Σ坏仁絹碚f，它還涉及“放縮”的問題，它可能需通過“放大”或“縮小”的過程，才能利用上歸納假設(shè)，因此，我們可以利用“比較法”、“綜合法”、“分析法”等來分析從“nk”到“nk1”的變化，從中找到“放縮尺度”，準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式