第二節(jié) 平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示,1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 不共線 向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2使a=1e1+2e2,其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 2.平面向量的坐標(biāo)表示 (1)平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)相互垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與 x軸,y軸 方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj,有序數(shù)對(duì) (x,y) 叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),顯然,i= (1,0) ,j= (0,1) ,0= (0,0) .,2.(2016·安徽太和中學(xué)聯(lián)考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),則(a+2b)·a= ( ) A.5 B.-2 C.0 D.6 2.A 【解析】因?yàn)閍+2b=(4,-3),所以(a+2b)·a=5.,4.(2015·江蘇高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),則m-n的值為 .,平面向量的基本定理解題的思維模式 (1)選擇一組基底(一般以題中給出的考查更好),將條件與結(jié)論表示成這組基底的線性組合,再進(jìn)行向量的運(yùn)算; (2)充分利用中點(diǎn)向量公式進(jìn)行向量運(yùn)算; (3)充分利用特殊位置法進(jìn)行求解.,利用向量的坐標(biāo)解題基于以下兩點(diǎn) (1)根據(jù)相等向量的向量坐標(biāo)相等這一原則,通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解; (2)幾何圖形(特別是含有直角的情況)中的運(yùn)算可通過(guò)建系利用向量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解,這既簡(jiǎn)化了思維過(guò)程又使計(jì)算量得到減少,是復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化的解題思想.,考點(diǎn)3 平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算 典例3 (2015·龍巖模擬)已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與a-b平行,則x= . 【解題思路】分別表示出向量a+b與a-b的坐標(biāo),由向量平行的充要條件建立關(guān)于x的方程求解x.由題意得a+b=(3,x+1),a-b=(-1,1-x),因?yàn)閍+b與a-b平行,所以3(1-x)-(x+1)(-1)=0,解得x=2. 【參考答案】 2 平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算兩步曲 (1)把題中的向量坐標(biāo)化(如果是幾何圖形應(yīng)建系,利用條件把點(diǎn)的坐標(biāo)求出); (2)利用平行(共線)的坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解.,【變式訓(xùn)練】 (2015·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬)已知向量a=(1,-2),b=(2,x),且(a+b)a,則a與b的夾角為 ( ) A.0° B.45° C.90° D.180° A 【解析】由a=(1,-2),b=(2,x)得a+b=(3,x-2),又由(a+b)a得-6-x+2=0x=-4,即b=(2,-4),所以ab.,構(gòu)建坐標(biāo)系解決平面向量問(wèn)題 向量融“數(shù)”、“形”于一體,具有幾何、代數(shù)的“雙重身份”,我們?cè)谘芯肯蛄繂?wèn)題時(shí),巧妙構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系,可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題直觀化.,