第三節(jié)圓的切線的性質(zhì)及判定定理 1歸納總結(jié)圓的切線的有關(guān)知識2深入理解圓的切線的性質(zhì)、判定定理及推論3靈活運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)、判定定理及推論進(jìn)行有關(guān)計算與證明. 課 標(biāo) 定 位 1切線的判定與性質(zhì)的應(yīng)用(重點(diǎn))2對切線性質(zhì)與判定的相關(guān)考查常與相似三角形結(jié)合在一起，帶有一定的綜合性(難點(diǎn)) No.1 預(yù)習(xí)學(xué)案 切點(diǎn)的半徑 OA垂直于切線垂直于切線 2切線的判定定理經(jīng)過半徑的_并且_這條半徑的直線是圓的切線外端垂直于 1下列說法正確的是()A過圓內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)的直線是圓的切線B若直線與圓不相切，則它和圓相交C若直線和圓有公共點(diǎn)，則直線和圓相交D若直線和圓有唯一公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)是切點(diǎn) 解析：由于圓內(nèi)接三角形的每邊都與圓有兩個交點(diǎn)，故A不正確；直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離，故B不正確；直線與圓有公共點(diǎn)包含相交和相切兩種情況，只有直線與圓有唯一公共點(diǎn)時，直線與圓才相切，故C不正確，D正確答案：D 2已知圓的半徑為6.5 cm，圓心到直線l的距離為4.5 cm，那么這條直線和這個圓的公共點(diǎn)的個數(shù)是()A0D1C2 D不能確定解析：圓心到l的距離4.5 cm小于圓的半徑6.5 cm，故直線l與圓相交答案：C 3如圖，在半徑分別為5 cm和3 cm的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則弦AB的長為_cm. 答案：8 解析：(1)證明：連接OADA平分BDE，BDAEDAOAOD，ODAOAD，OADEDA，OA CE.AEDE，AED90，OAEDEA90，AEOAAE是O的切線 (2)BD是直徑，BCDBAD90.DBC30，BDC60，BDE120.DA平分BDE，BDAEDA60.ABDEAD30.在RtAED中，AED90，EAD30，AD2DE.在RtABD中，BAD90，ABD30，BD2AD4DE. DE的長是1 cm， BD的長是4 cm. No.2 課堂學(xué)案 如圖所示，點(diǎn)P是 O外的一點(diǎn)，PA、PB分別與 O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B， APB40，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作 O的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D和點(diǎn)E，求 DOE的度數(shù)利 用 切 線 的 性 質(zhì) 求 角 度 思路點(diǎn)撥 解題過程如圖所示，連接OA、OB、OCPA和PB分別切O于點(diǎn)A和B，PAOPBO90.AOBAPB180.AOB180APB140.DC切O于點(diǎn)C，OCD90. 規(guī)律方法(1)如何利用切線性質(zhì)定理及推論求解有關(guān)角的問題？觀察圖形，作輔助線；利用相關(guān)知識，如圓周角定理、圓的切線性質(zhì)定理、判定定理等，建立要求角與圖中已知角的關(guān)系；根據(jù)未知角與已知角的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從已知到未知的轉(zhuǎn)換求解 (2)注意事項(xiàng)當(dāng)一條直線是圓的切線時，通常連接圓心和切點(diǎn)，此時，這條半徑垂直于切線本題在學(xué)習(xí)完切線長定理后，直接利用切線長定理解決更簡單 1.如圖所示，在 O中，AB是直徑，AD是弦，過點(diǎn)B的切線與AD的延長線交于點(diǎn)C，且ADDC，求 ABD的度數(shù) 解析：BC是O的切線，ABBCABC是直角三角形CDAD，BDADAB是直徑，ADBDABD是等腰直角三角形ABD45. 利用切線的性質(zhì)解決線段的長度問題 (2010江蘇高考)AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長線于點(diǎn)C，若DADC，求證：AB2BC 證明：連接OD，則ODDC，又OAOD，DADC，所以DAOODADCO，DOCDAOODA2DCO，所以DCO30，DOC60，所以O(shè)C2OD，即OBBCODOA，所以AB2BC 規(guī)律方法利用圓的切線的性質(zhì)來證明或進(jìn)行有關(guān)的計算時需添加輔助線，其中連接圓心和切點(diǎn)的半徑時常用輔助線，從而可以構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形邊角關(guān)系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等 2.如圖，以ABC的一邊AB為直徑作 O， O與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作 O的切線交AC邊于點(diǎn)E.(1)求證：DE AC；(2)若 ABC30，求tan BCO的值 解析：(1)證明：連接OD如圖所示DE為O的切線，ODDE.O為AB的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，OD AC，EDAC 已知D是ABC的邊AC上的一點(diǎn)，AD DC2 1， C45， ADB60，求證：AB是BCD的外接圓的切線 圓的切線的判定 規(guī)律方法要證明某直線是圓的切線，主要是運(yùn)用切線的判定定理，除此以外，還有圓心到直線的距離等于半徑等判定方法，但有時需添加輔助線構(gòu)造判定條件，其中過圓心作直線的垂線是常用輔助線 3.本例中，若將已知改為“ ABD C”，怎樣證明：AB是BCD的外接圓的切線證明：作直徑BE，連接DE，BE是O的直徑，BDE90，EDBE90.CE，ABDC，ABDDBE90.即ABE90.AB是BCD的外接圓的切線 思路點(diǎn)撥(1)利用圓的切線的判定定理進(jìn)行切線的證明，關(guān)鍵是找出定理的兩個條件：過半徑的外端；該直線與某一條半徑所在的直線垂直(2)利用勾股定理及三角形相似得到BF的長 圓 的 切 線 的 性 質(zhì) 和 判 定 的 綜 合 考 查 規(guī)律方法對圓的切線的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點(diǎn)，其解答思路常常是先證明某直線是圓的切線，再利用切線的性質(zhì)來求解相關(guān)結(jié)果 解析：(1)證明：連接OD、CDBC是直徑，CDABACBC，D是AB的中點(diǎn)又O為CB的中點(diǎn)，OD ACDFAC，ODEF，EF是O的切線 實(shí) 際 應(yīng) 用 題 規(guī)律方法(1)解與圓的切線有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題的步驟審題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的切線問題；利用切線有關(guān)知識求解；翻譯，將數(shù)學(xué)問題中的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的答案(2)注意事項(xiàng)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程中，除了提煉信息外，還要注意用數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化相關(guān)的量；要綜合應(yīng)用相關(guān)知識，如直角三角形，直線與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)定理及其相關(guān)的推論等 5.如圖是兩個滑輪工作的示意圖，已知 O1、 O2的半徑分別為4 cm,2 cm，圓心距為10 cm，AB是 O1、 O2的公切線，切點(diǎn)分別為A、B，求公切線AB的長 1判定直線與圓相切有哪幾種方法？判定直線與圓相切共有三種方法：(1)和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線；(2)到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線；(3)過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線 2圓的切線的有關(guān)知識有哪些？(1)切線和圓只有一個公共點(diǎn)；(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；(5)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心 3用切線的性質(zhì)定理求解線段的長度時，應(yīng)注意哪些問題？(1)如果已知三邊的一元二次方程，可利用韋達(dá)定理建立起三角形的三邊之間的關(guān)系；(2)在應(yīng)用切線的性質(zhì)定理及其推論進(jìn)行幾何證明和求解時，如果已知切點(diǎn)，則連接圓心和切點(diǎn)構(gòu)成垂直是一種常用的方法.