3.2立體幾何中的向量方法3.2.2用向量方法求空間中的角 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1理解直線與平面所成角的概念2掌握利用向量方法解決線線角、線面角、二面角的求法3正確運(yùn)用向量法求異面直線的夾角 山體滑坡是一種常見的自然災(zāi)害甲、乙兩名科技人員為了測量一個(gè)山體的傾斜程度，甲站在水平地面上的A處，乙站在山坡斜面上的B處，A，B兩點(diǎn)到直線l(水平地面與山坡的交線)的距離AC和BD分別為30 m和40 m，CD的長為60 m，AB的長為80 m . 問題1 如何用向量方法求異面直線AC和BD所成的角？ 空間角的向量求法|cosab| a，n |cosn1，n2| 4如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2，AB BC，求二面角B1A1CC1的大小 合作探究 課堂互動(dòng) 求異面直線所成的角 求異面直線所成的角的兩種方法(1)幾何法方法：解決此類問題，關(guān)鍵是通過平移法求解過某一點(diǎn)作平行線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，最后通過解三角形求解主要以“作，證，算”來求異面直線所成的角，同時(shí)，要注意異面直線所成角的范圍關(guān)注點(diǎn)：結(jié)合圖形求角時(shí)，應(yīng)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如等腰(邊)三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)及勾股定理、余弦定理及有關(guān)推論 (2)向量法方法：利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線的夾角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角，即cos |cos |.關(guān)注點(diǎn)：求角時(shí)，常與一些向量的計(jì)算聯(lián)系在一起，如向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD的夾角思路點(diǎn)撥：方法一：幾何法，作出A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，直接求解求直線與平面的夾角 解析：方法一：連接BC1，與B1C交于點(diǎn)O，連接A1O，在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1CBC1，BC1A1B1，B1CA1B1B1，BC1平面A1B1CD.故A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的投影，即BA1O為A1B與平面A1B1C的夾角， 求直線與平面的夾角的方法與步驟思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值) 2如圖所示，四棱錐PABCD的底面為直角梯形， ADC DCB90，AD1，BC3，PCCD2，PC底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值 解析：如圖所示，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CD，CB，CP分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為C(0，0,0)，P(0，0,2)，D(2,0,0)，E(1,2,0) 求二面角 (1)求二面角的方法 3已知正方體ABCDA1B1C1D1中平面AB1D1與平面A1BD所成的夾角為，求cos 的值 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面AEC1F的距離求空間距離 思路點(diǎn)撥：AB是平面AEC1F的斜線段，AB在平面AEC1F的法向量方向上的投影長即為點(diǎn)B到平面AEC1F的距離，所以應(yīng)先求出平面AEC1F的一個(gè)法向量，再利用向量的數(shù)量積求解 求點(diǎn)到平面的距離的步驟可簡化為：(1)求平面的法向量；(2)求斜線段對應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點(diǎn)到平面的距離空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解 【錯(cuò)因】由平面的法向量求二面角大小時(shí)，必須分清二面角的大小與向量夾角的大小之間的關(guān)系，本錯(cuò)解未注意到二面角實(shí)際是一個(gè)銳二面角