3.1空間向量及其運(yùn)算 3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1掌握空間向量的數(shù)量積的概念、有關(guān)簡單性質(zhì)以及數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律2能運(yùn)用向量的數(shù)量積，判斷向量的共線與垂直，并用于證明兩直線平行與垂直 為了幫助地震災(zāi)區(qū)重建家園，某施工隊(duì)需要移動(dòng)一個(gè)大型均勻的正三角形面的鋼筋混凝土構(gòu)件，已知它的質(zhì)量為5 000 kg，在它的頂點(diǎn)處分別受大小相同的力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3并且每兩個(gè)力之間的夾角都是60.(其中g(shù)10 N/kg)問題1 向量F1和F2夾角為多少？提示1 120. 問題2 每個(gè)力最小為多少時(shí)，才能提起這塊混凝土構(gòu)件？ 空間向量的夾角 AOB a，b 0， 如果a，b，那么向量a，b_，記作_.互相垂直a b 空間向量的數(shù)量積(ab) ba abac ab0 對(duì)空間向量的數(shù)量積的理解(1)數(shù)量積是數(shù)量(數(shù)值)，可以為正，可以為負(fù)，也可以為零；(2)ab0 ab(a，b為非零向量)；(3)向量a，b的夾角a，b與點(diǎn)的坐標(biāo)(a，b)不同；(4)ab的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積 解析：命題正確，不正確答案：D 4如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13， BAD90， BAA1 DAA160，求AC1的長 合作探究 課堂互動(dòng) 已知長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)求下列向量的數(shù)量積：空間向量數(shù)量積的計(jì)算 此類問題通常是先用已知向量表示目標(biāo)向量，然后再利用運(yùn)算律和數(shù)量積定義計(jì)算所謂已知向量就是模和夾角已知的向量 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D的中點(diǎn)，若正方體的棱長為1.用數(shù)量積解決夾角問題 2如圖所示，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求異面直線BA1與AC所成的角 如圖，已知線段AB平面，BC ，CD BC，DF平面，且 DCF30，D與A在的同側(cè)，若ABBCCD2，求A，D兩點(diǎn)間的距離用數(shù)量積解決兩點(diǎn)間的距離 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G是CC1的中點(diǎn)求證：A1O平面GBD.用數(shù)量積解決垂直問題 4已知空間四邊形OABC中， AOB BOC AOC，且OAOBOC.M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)求證：OG BC. “ab0”是“a，b為鈍角”的_條件 【錯(cuò)因】兩個(gè)向量的夾角為鈍角會(huì)誤以為只要滿足數(shù)量積小于零即可，而忽略當(dāng)兩個(gè)向量共線且反向時(shí)數(shù)量積也小于零同理由向量的數(shù)量積大于零而判斷夾角為銳角時(shí)，是忽略了向量共線且同向的情形【正解】當(dāng)a，b時(shí)，ab0，但此時(shí)夾角不為鈍角，所以“ab0”是“a，b為鈍角”的必要不充分條件