1.5.2 綜 合 法 和 分 析 法 1.理解綜合法、分析法證明不等式的原理和思想.2.掌握綜合法、分析法證明簡單不等式的方法和步驟.3.能綜合運(yùn)用綜合法、分析法證明不等式. 1.綜 合 法在 證 明 不 等 式 的 時 候 ,我 們 經(jīng) 常 要 從 命 題 的 已 知 條 件 出 發(fā) ,利 用公 理 、 已 知 的 定 義 及 定 理 ,逐 步 推 導(dǎo) ,從 而 最 后 導(dǎo) 出 要 證 明 的 命 題 ,這 種 方 法 稱 為 綜 合 法 .名 師 點(diǎn) 撥用綜合法證明不等式,就是用因果關(guān)系書寫“從已知出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達(dá)到待證不等式得證”的全過程,其特點(diǎn)可描述為“由因?qū)Ч?即從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.綜合法屬邏輯方法范疇,它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在步步注明推理依據(jù). 答 案 :D 2.分 析 法從 需 要 證 明 的 命 題 出 發(fā) ,分 析 使 這 個 命 題 成 立 的 充 分 條 件 ,利 用已 知 的 一 些 定 理 ,逐 步 探 索 ,最 后 達(dá) 到 命 題 所 給 出 的 條 件 (或 者 一 個已 證 明 過 的 定 理 或 一 個 明 顯 的 事 實(shí) ),這 種 證 明 方 法 稱 為 分 析 法 .歸 納 總 結(jié) 名 師 點(diǎn) 撥用分析法證明“若A則B”的模式為:欲證命題B成立,只需證命題B1成立,只需證命題B2成立,只需證明A為真.已知A為真,故B必為真.可以簡單寫成:BB 1B2BnA. 【 做 一 做 2】 要 證 a2+b2-1-a2b2 0,只 要 證 ( ) 解 析 :要證a2+b2-1-a2b2 0,只要證a2(1-b2)+(b2-1) 0,只要證(b2-1)(a2-1) 0.答 案 :D 綜 合 法 在 應(yīng) 用 中 的 有 關(guān) 問 題 是 什 么 ?剖 析 :用綜合法證明不等式時,主要利用基本不等式,函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì),在嚴(yán)密的演繹推理下推導(dǎo)出結(jié)論.綜合法證明問題的“入手處”是題設(shè)中的已知條件或某些基本不等式.比如下面的幾個,是經(jīng)常用到的: 選擇使用哪個不等式作為證題的“原始出發(fā)點(diǎn)”或?qū)σ阎獥l件的轉(zhuǎn)化是證題的關(guān)鍵,這要求對要證明的結(jié)果有充分的分析過程,可以聯(lián)系平時學(xué)習(xí)過程中積累下來的數(shù)學(xué)結(jié)論或知識作出判斷.比如 題型一 題型二 題型三 用 綜 合 法 證 明 不 等 式【 例 1】 設(shè) a,b,c為 ABC的 三 條 邊 ,求 證 :a2+b2+c22ab+2bc+2ac.分 析 :本題看似是一道與公式a2+b2 2ab(a,b R)有關(guān)的題目,又好像與二次函數(shù)有關(guān),但實(shí)際上這兩種思路都行不通.其實(shí)本題的關(guān)鍵在于 ABC中隱含的a,b,c的關(guān)系.證 明 :證法一:在 ABC中,ab+c,ba+c,cb+a,則a2a(b+c),b2b(a+c),c2c(b+a).于是a 2+b2+c2a(b+c)+b(a+c)+c(a+b),即a2+b2+c2bc,則0a-bc,0b-ca,0a-cb. (a-b)2c2,(b-c)2a2,(a-c)2b2. (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2c2+a2+b2,即a2+b2+c22ab+2bc+2ac.證法三:在 ABC中,設(shè)a,b,c三邊所對的角分別為角A,B,C,則由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C,則a2+b2+c2=(b2+c2-2bccos A)+(a2+c2-2accos B)+(a2+b2-2abcos C),即a 2+b2+c2=2abcos C+2bccos A+2accos B.在 ABC中,cos A1,cos B1,cos C1, 2abcos C+2bccos A+2accos B2ab+2bc+2ca. a2+b2+c20.則f(a)的值可正、可負(fù)、可為零,無法確定.因此,分析題目時,對條件要看清楚,尤其要探尋條件間的限制關(guān)系,以免受到某些思維定式的影響. 題型一 題型二 題型三 用 分 析 法 證 明 不 等 式 分 析 :本題要證明的不等式顯得較為復(fù)雜,不易觀察出怎樣由ab0得到要證明的不等式,因而可以用分析法先變形要證明的不等式,從中找到證題的線索. 題型一 題型二 題型三反 思分析法的格式是固定化的,其中每一步都是上一步成立的充 分條件,即每一步數(shù)學(xué)式的變化都是在這個要求之下一步一步去尋找成立的條件或結(jié)論、定理. 題型一 題型二 題型三 易 錯 辨 析易 錯 點(diǎn) :因 不 注 意 分 析 法 的 證 題 格 式 而 致 錯 .錯 因 分 析 :分析法是“執(zhí)果索因”,即由待證的不等式出發(fā),逐步尋求它要成立的充分條件,所以書寫時必須按照分析法的固有格式進(jìn)行.本題的錯誤就在于未按分析法的格式證明. 題型一 題型二 題型三 1 2 3 4 5A.A B B.A BC.AB D.Ay1,0aay B.logaxlogayC.xaya D.x-ay-a解 析 : 0ay1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知axay,logaxya,故排除選項(xiàng)A,B,C.答 案 :D 1 2 3 4 5A.2 B.3C.4 D.5 答 案 :C 1 2 3 4 5答 案 :a+b 1 2 3 4 5答 案 :