第二十二章 選修4系列 §22.1 矩陣與變換,高考數(shù)學(xué),1.矩陣的概念 在數(shù)學(xué)中,我們把形如 , , 這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱 為矩陣(matrix). 記法:矩陣通常用大寫的黑體拉丁字母來表示,比如A,B,C,或(aij)(其 中i,j分別為元素aij所在的行和列). 矩陣相等:設(shè)有兩個(gè)矩陣A,B,如果它們適合如下條件: (1)A與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等;,知識(shí)清單,(2)A與B對(duì)應(yīng)位置的元素也分別相等. 則稱A與B相等并記為A=B. 說明:如果A=(aij)m×n中行數(shù)與列數(shù)相等,即m=n,比如 ,則稱A為m階方 矩陣或m階方陣.方陣在矩陣?yán)碚撝姓加兄匾牡匚? 2.矩陣乘法定義 一般地,我們規(guī)定行矩陣a11,a12與列矩陣 的乘法規(guī)則為a11,a12 =a11b11+a12b21,二階矩陣 與列矩陣 的乘法規(guī)則為 = .,說明:矩陣乘法MN的幾何意義為對(duì)向量連續(xù)實(shí)施的兩次幾何變換(先TN 后TM)的復(fù)合變換. 一般地,對(duì)于平面上的任意一個(gè)向量P= ,若按照對(duì)應(yīng)法則T,總能對(duì)應(yīng) 唯一的一個(gè)向量P'= ,則稱T為一個(gè)變換(transformation),簡(jiǎn)記為: T:(x,y)(x',y')或T: . 3.幾種常見的平面變換 恒等變換:對(duì)平面上任何一點(diǎn)(向量)或圖形施以矩陣 對(duì)應(yīng)的變換,都 把自己變成自己.因此,我們把這種特殊的矩陣稱為恒等變換矩陣或單 位矩陣,所實(shí)施的對(duì)應(yīng)變換稱作恒等變換.,伸壓變換:像 , (m,n0,|m|,|n|1),這種將平面圖形作沿y軸 方向伸長(zhǎng)或壓縮,或作沿x軸方向伸長(zhǎng)或壓縮的變換矩陣,通常稱作沿y 軸或x軸的垂直伸壓變換矩陣,對(duì)應(yīng)的變換稱為垂直伸壓變換,簡(jiǎn)稱伸壓 變換. 反射變換:像 , , ,這樣將一個(gè)平面圖形F變?yōu)殛P(guān)于定直 線或定點(diǎn)對(duì)稱的平面圖形的變換矩陣,稱為反射變換矩陣,相應(yīng)的變換 稱為反射變換. , 對(duì)應(yīng)于軸反射, 對(duì)應(yīng)于中心反射. 旋轉(zhuǎn)變換:矩陣 通常叫做旋轉(zhuǎn)變換矩陣,對(duì)應(yīng)的變換稱作旋 轉(zhuǎn)變換,其中的角叫做旋轉(zhuǎn)角.,投影變換:像 , ,這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線(或某個(gè)點(diǎn)) 上的變換矩陣,我們稱之為投影變換矩陣,相應(yīng)的變換稱作投影變換. 切變變換:矩陣 把平面上的點(diǎn)P(x,y)沿x軸方向平移|ky|個(gè)單位;當(dāng) ky0時(shí),沿x軸正方向移動(dòng);當(dāng)ky0時(shí),沿x軸負(fù)方向移動(dòng);當(dāng)ky=0時(shí),原地 不動(dòng).上述這種變換通常叫做切變變換,對(duì)應(yīng)的矩陣叫做切變變換矩陣. 4.矩陣的逆矩陣 有的變換能夠“找到回家的路”,稱為原變換的逆變換,逆變換也對(duì)應(yīng) 著一個(gè)矩陣.但并不是所有的二階矩陣A,都存在二階矩陣B,使得AB=BA =E. 定義:若二階方陣A、B滿足AB=BA=E(E為二階單位矩陣),則稱A是可,逆的.B為A的逆矩陣,記為A-1,B=A-1. 說明:(1)若B為A的逆矩陣,則A同時(shí)也為B的逆矩陣,即A=B-1,所以(A-1)-1 =A; (2)若二階矩陣A存在逆矩陣,則逆矩陣唯一. 5.二元一次方程組與二階行列式 關(guān)于x,y的二元一次方程組 (1)方程組的解的分母是系數(shù)矩陣 的主對(duì)角線上的數(shù)的乘積減去 副對(duì)角線上的數(shù)的乘積. (2)二階行列式的定義:我們把 稱為二階行列式,它的運(yùn)算結(jié)果是一,個(gè)數(shù)值或多項(xiàng)式,記為: det A= = ad-bc . 則方程組的解的分母就是 ,再將 記為D, 記為Dx, 記 為Dy,所以方程組的解為 6.二階矩陣的特征值和特征向量 (1)特征值與特征向量的概念 設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,如果對(duì)于實(shí)數(shù),存在一個(gè)非零向量,使得A=, 那么稱為A的一個(gè)特征值,而稱為A的屬于特征值的一個(gè)特征向量.,(2)特征向量的幾何意義 特征向量的方向經(jīng)過變換矩陣A的作用后,保持在同一條直線上,這時(shí)特 征向量或者方向不變(0),或者方向相反(0),特別地,當(dāng)=0時(shí),特征向 量就被變成了0. (3)特征多項(xiàng)式 設(shè)是二階矩陣A= 的一個(gè)特征值,它的一個(gè)特征向量為= ,則A = ,即 滿足二元一次方程組 故 (*) 由特征向量的定義知0,因此x,y不全為0,若要上述二元一次方程組有,不全為0的解,則必須有D=0,即 =0. 定義:設(shè)A= 是一個(gè)二階矩陣,R,我們把多項(xiàng)式 f()= =2-(a+d)+ad-bc稱為A的特征多項(xiàng)式. (4)求矩陣的特征值與特征向量 如果是二階矩陣A的特征值,則一定是二階矩陣A的特征多項(xiàng)式的一 個(gè)根,它滿足f()=0.此時(shí),將代入二元一次方程組(*),就可以得到一組非 零解 ,于是,非零向量 即為A的屬于的一個(gè)特征向量.,求解逆矩陣 求逆矩陣常用的三種方法: (1)待定系數(shù)法:設(shè)A是一個(gè)二階可逆矩陣 ,則AA-1=A-1A=E(E為單位 矩陣). (2)公式法: =ad-bc,記為det A,有A-1= (當(dāng)且僅當(dāng)det A=ad -bc0時(shí)可用). (3)從幾何變換的角度求解二階矩陣的逆矩陣.,方法技巧,例1 (2017江蘇南通中學(xué)期中)設(shè)矩陣A= 的逆矩陣為A-1,矩陣B滿 足AB= ,求A-1,B.,解析 因?yàn)锳= ,所以|A|= =-7+6=-1. 由逆矩陣公式得,A-1= . 因?yàn)锳B= ,所以B=A-1AB= = .,矩陣變換的應(yīng)用 利用矩陣求曲線方程或圖形中相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),再利用曲線或圖形的性質(zhì) 求解相關(guān)問題. 例2 (2017江蘇蘇北四市摸底考試)求橢圓C: + =1在矩陣A= 對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的曲線的方程.,解析 設(shè)橢圓C上的點(diǎn)(x1,y1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)(x,y). 則 = = , 則 代入橢圓方程 + =1,得x2+y2=1. 所以所求曲線的方程為x2+y2=1.,