§22.2 坐標(biāo)系與參數(shù)方程,高考數(shù)學(xué),1.極坐標(biāo)系 (1)在平面上取一個定點O,由O點出發(fā)的一條射線Ox,一個長度單位、 一個角度單位及計算角度的正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了 一個極坐標(biāo)系.O點稱為極點,Ox軸稱為極軸.平面上任一點M的位置可 以由線段OM的長度和從Ox到OM的角度來刻畫(如圖所示).這兩個 數(shù)組成的有序數(shù)對(,)稱為點M的極坐標(biāo),稱為極徑,稱為極角.,知識清單,(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化 設(shè)M為平面上任意一點,它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為(,).由圖可知 下面的關(guān)系式成立: 或 順便指出,上式對0也成立.,這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式. (3)圓的極坐標(biāo)方程 a.圓心在極點,半徑為R的圓的極坐標(biāo)方程為=R. b.圓心在極軸上的點(a,0)處,且圓過極點O的圓的極坐標(biāo)方程為=2acos . c.圓心在點 處且過極點的圓的極坐標(biāo)方程為=2asin . 注:當(dāng)圓心M(x0,y0)不在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上時,要建立圓的極坐標(biāo)方 程,通常把極點放置在圓心處,極軸與x軸正半軸同向,然后運(yùn)用極坐標(biāo)與 直角坐標(biāo)的變換公式求解. 或,2.參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 過點(x0,y0)且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)). (2)圓的參數(shù)方程 若圓心在點M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為 (為 參數(shù)). (3)橢圓的參數(shù)方程 若橢圓的中心不在原點,而在點M0(x0,y0),相應(yīng)的橢圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).,通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0,2).,解決參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程問題的方法 極坐標(biāo)方程往往要與普通方程進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化,在轉(zhuǎn)化時,以直角坐標(biāo)系 的原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且在兩坐標(biāo)系中 取相同的長度單位. 參數(shù)方程化為普通方程的常見方法有三種:代入法:利用解方程的技 巧表示出參數(shù),然后代入消去參數(shù).三角法:利用三角恒等式消去參數(shù). 整體消元法:根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上消去.化參數(shù)方 程為普通方程.在消參過程中,注意變量x、y取值范圍的一致性. 例1 (2017江蘇南通中學(xué)期中)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,直 線l的極坐標(biāo)方程為 sin =m.若直線l與曲線C有且只有一個公共 點,求實數(shù)m的值.,方法技巧,解析 曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1, 表示以(1,0)為圓心,1為半徑的圓. 直線l的極坐標(biāo)方程是sin =m,即 cos + sin =m,化為直角 坐標(biāo)方程為x+ y-2m=0. 因為直線l與曲線C有且只有一個公共點, 所以 =1,解得m=- 或m= . 所以,所求實數(shù)m的值為- 或 .,例2 (2017江蘇南通中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C: (為參數(shù),R),直線l: (t為參數(shù),tR),求曲線C 上的動點P到直線l的距離的最小值.,解析 將直線l的參數(shù)方程 化為普通方程為x-y-6=0. 因為點P在曲線C: (為參數(shù))上,所以設(shè)P(4cos ,3sin ). 點P到直線l的距離d= = ,其中tan = ,是銳角. 所以當(dāng)cos(+)=1時,dmin= . 所以點P到直線l的距離的最小值為 .,