§22.3 不等式選講,高考數(shù)學(xué),1.兩實(shí)數(shù)大小比較的三種情況 設(shè)a、b為兩個(gè)實(shí)數(shù),它們在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別記為A、B.若A落在B的 右邊,則稱a大于b,記為ab;若A落在B的左邊,則稱a小于b,記為abbb,bcac. (3)aba+cb+c. (4)ab,c0acbc;ab,cb0anbn,其中n為正整數(shù),且n2.,知識清單,(6)ab0 ,其中n為正整數(shù),且n2. (7)ab,cda+cb+d. (本性質(zhì)說明兩個(gè)同向不等式相加,所得的不等式和原不等式同向) (8)ab0,cd0acbd. (本性質(zhì)說明兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得的不等式 和原不等式同向) 3.基本不等式 定理1:設(shè)a、bR,則a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立. 定理2:若a、b為正數(shù),則 ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立. 我們稱 為正數(shù)a、b的 算術(shù)平均 , 為正數(shù)a、b的幾何平均 ,因而可用語言敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均大于或等于它們的 幾何平均. 定理3:若a、b、c為正數(shù),則 ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號成立. 定理4:(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)若a1、a2、an為n個(gè)正數(shù), 則 ,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí),等號成立. 4.絕對值不等式的解法 (1)|ax+b|c、|ax+b|c型不等式的解法: c0,則|ax+b|c的解集為-cax+bc,|ax+b|c的解集為ax+bc或ax+ b-c,然后根據(jù)a、b的值解出即可. c0,則|ax+b|c的解集為,|ax+b|c的解集為R.,(2)解|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c型不等式的一般步驟: a.令每個(gè)絕對值符號里的一次式為0,求出相應(yīng)的根. b.把這些根由小到大排序,它們把實(shí)數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間. c.分別在所分區(qū)間上,根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號,討論所得的不 等式在這個(gè)區(qū)間上的解集. d.這些解集的并集就是原不等式的解集. 5.含絕對值的三角不等式 定理1:若a、b為實(shí)數(shù),則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號成立. 定理2:若a、b、c為實(shí)數(shù),則|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí),等 號成立. 推論1:|a|-|b|a+b|.,推論2:|a|-|b|a-b|. 6.不等式證明的基本方法 (1)比較法;(2)綜合法與分析法;(3)反證法和放縮法. 拓展延伸 柯西不等式的有關(guān)定理: 定理1:(二維形式的柯西不等式)設(shè)a1、a2、b1、b2均為實(shí)數(shù),則( + )( + )(a1b1+a2b2)2.上式等號成立a1b2=a2b1. 定理2:(柯西不等式的向量形式)設(shè)、為平面上的兩個(gè)向量,則|·| |,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使=k時(shí),等號成立. 定理3:設(shè)a1、a2、b1、b2為實(shí)數(shù),則 + ,等號成立存在非負(fù)實(shí)數(shù)及,使得a1=b1,a2=b2.,定理4:(平面三角不等式)設(shè)a1、a2、b1、b2、c1、c2為實(shí)數(shù), + ,且等號 成立存在非負(fù)實(shí)數(shù)及使得(a1-b1)=(b1-c1),(a2-b2)=(b2-c2). 定理5:設(shè)、為平面向量, 則|-|+|-|-|.,當(dāng)-、-為非零向量時(shí),上面不等式中等號成立存在正數(shù),使得 -=(-)向量-與-同向,即夾角為零. 定理6:(柯西不等式的一般形式)設(shè)a1、a2、an、b1、b2、bn為實(shí) 數(shù),則( + + )( + + )(a1b1+a2b2+anbn)2, 當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,n)時(shí),等號 成立.,不等式的證明 例1 (2017蘇州高三第一學(xué)期期末)已知a,b,x,y都是正數(shù),且a+b=1. 求證:(ax+by)(bx+ay)xy.,方法技巧,證明 因?yàn)閍,b,x,y都是正數(shù),且a+b=1, 所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+(a2+b2)xyab·2xy+(a2+b2)xy=(a+b)2xy= xy. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),取等號.,不等式的應(yīng)用 利用不等式及|a|-|b|a±b|a|+|b|求解不等式或求相關(guān)函數(shù)的最值. 例2 (2016江蘇調(diào)研,21)設(shè)函數(shù)f(x)= +|x-a|(a0). (1)證明:f(x)2; (2)若f(3)5,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解析 (1)證明:由a0,得f(x)= +|x-a| = +a2(當(dāng)且 僅當(dāng)a=1時(shí)等號成立). 所以f(x)2. (2)f(3)= +|3-a|. 當(dāng)a3時(shí),f(3)=a+ ,由f(3)5得3a . 當(dāng)0a3時(shí),f(3)=6-a+ ,由f(3)5得 a3. 綜上,a的取值范圍是 .,