第1講空間幾何體專題五立體幾何 欄目索引 高考真題體驗1 熱點分類突破2 高考押題精練3 高考真題體驗1.(2015江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為_. 解析答案 2.(2016課標(biāo)全國丙改編)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB BC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是_. 解析答案 解析過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示， 解析答案 由圓柱的側(cè)面積相等，得2r1h12r2h2，解析答案 考情考向分析 返回 1.考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題. 熱點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征熱點分類突破棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多邊形；棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形；棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形.圓柱可由矩形繞其任意一邊旋轉(zhuǎn)得到；圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到；圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上、下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到. 例1設(shè)有以下四個命題：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長方體；直四棱柱是直平行六面體；棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點.其中真命題的序號是_.解析命題符合平行六面體的定義，故命題是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題是錯誤的；命題由棱臺的定義知是正確的. 解析答案思維升華 思維升華判定與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)命題的方法：(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)，可對得到旋轉(zhuǎn)體的平面圖形進(jìn)行分解，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的定義進(jìn)行分析. 跟蹤演練1(1)給出下列四個命題：各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；對角面是全等矩形的六面體一定是長方體；有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長方體一定是正四棱柱.其中正確命題的個數(shù)是_.解析直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；顯然錯誤. 0 解析答案 (2)以下命題：以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.其中正確命題的個數(shù)為_.解析命題錯，因為這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐.命題錯，因為這條腰必須是垂直于兩底的腰.命題對.命題錯，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以.1 解析答案 熱點二幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧. 例2(1)已知一個圓錐的底面積為2，側(cè)面積為4，則該圓錐的體積為_.解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l， 解析答案 解析答案思維升華 思維升華(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和.(2)求體積時可以把空間幾何體進(jìn)行分解，把復(fù)雜的空間幾何體的體積分解為一些簡單幾何體體積的和或差.求解時注意不要多算也不要少算. 2 5 解析答案 熱點三多面體與球與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑.如球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點” “接點” )作出截面圖. 16解析在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos 603， AC2AB2BC2，即AB BC，又SA平面ABC，故球O的表面積為42 216.解析答案 (2)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為_ cm 3. 答案解析思維升華 解析過球心與正方體中點的截面如圖，設(shè)球心為點O，球半徑為 R cm，正方體上底面中心為點A，上底面一邊的中點為點B，在RtOAB中，OA(R2)cm，AB4 cm，OBR cm，由R2(R2)242，得R5， 思維升華 思維升華三棱錐PABC可通過補形為長方體求解外接球問題的兩種情形：(1)點P可作為長方體上底面的一個頂點，點A、B、C可作為下底面的三個頂點；(2)PABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個正方體的面對角線. 答案解析返回 解析如圖，以AB，AC，AD為棱把該三棱錐擴(kuò)充成長方體，則該長方體的外接球恰為三棱錐的外接球，三棱錐的外接球的直徑是長方體的體對角線長. 返回 押題依據(jù) 高考押題精練1.如圖，三棱錐ABCD中，E是AC的中點，F(xiàn)在AD上，且2AFFD，若三棱錐ABEF的體積是2，則四棱錐BECDF的體積為_.押題依據(jù)簡單幾何體的表面積和體積的計算是高考考查的重點，本題從兩幾何體的體積關(guān)系進(jìn)行考查，符合高考命題思想. 10 解析答案 押題依據(jù) 押題依據(jù)多面體的外接球一般借助補形為長方體的外接球解決，解法靈活，是高考的熱點. 12 答案解析 解析因為三棱錐SABC為正三棱錐，所以SB AC，又AM SB，AC AMA，所以SB平面SAC，所以SB SA，SB SC，同理，SA SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB2 ，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面積S4R212. 押題依據(jù) 3.已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的體積與圓柱的體積的比值為_.押題依據(jù)求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡單組合體的體積.本題通過球的內(nèi)接圓柱，來考查球與圓柱的體積計算，設(shè)問角度新穎，值得關(guān)注. 返回答案解析 返回