知 識 框 架一 、 空 間 幾 何 體 的 結(jié) 構(gòu)棱 柱圓 柱棱 錐圓 錐棱 臺圓 臺 簡 單 組 合 體柱 體錐 體臺 體球 體 二 、 空 間 幾 何 體 的 三 視 圖 和 直 觀 圖中 心 投 影平 行 投 影 斜 二 測畫 法俯 視 圖側(cè) 視 圖正 視 圖三 視 圖直 觀 圖投 影 三 、 空 間 幾 何 體 的 表 面 積 和 體 積圓 柱 的 側(cè) 面 積 ： 2S rl圓 錐 的 側(cè) 面 積 ： S rl圓 臺 的 側(cè) 面 積 ： ( )S r r l 球 的 表 面 積 ： 24S R柱 體 的 體 積 ： V Sh錐 體 的 體 積 ： 13V S h臺 體 的 體 積 ： 1 ( )3V S S S S h 球 的 體 積 ： 343V R 面 積體 積 1.由 若 干 個 平 面 多 邊 形 圍 成 的 幾 何 體叫 做 多 面 體 。 圍 成 多 面 體 的 各 個 多邊 形 叫 做 多 面 體 的 面 ,相 鄰 兩 個 面 的公 共 邊 叫 做 多 面 體 的 棱 ,棱 與 棱 的 公共 點(diǎn) 叫 做 多 面 體 的 頂 點(diǎn) 。2.由 一 個 平 面 圖 形 繞 它 所 在 的 平面 內(nèi) 的 一 條 定 直 線 旋 轉(zhuǎn) 所 形 成的 封 閉 幾 何 體 ,叫 做 旋 轉(zhuǎn) 體 ,這 條定 直 線 叫 做 旋 轉(zhuǎn) 體 的 軸 。下 面 我 們 來 探 究 柱 ,錐 ,臺 ,球 的 結(jié) 構(gòu) 特 征 請 仔 細(xì) 觀 察 下 列 幾 何 體 ,說 說 它 們 的 共 同 特 點(diǎn) .定 義 :有 兩 個 面 互 相 平 行 ,其 余 各 面 都 是四 邊 形 ,并 且 每 相 鄰 兩 個 四 邊 形 的 公 共 邊都 互 相 平 行 ,由 這 些 面 圍 成 的 幾 何 體叫 做 棱 柱 。 棱 柱 的 有 關(guān) 概 念 DA B CEFF AE DB C側(cè)面頂 點(diǎn)底 面?zhèn)?棱棱 柱 中 ,兩 個 互 相 平 行 的 面叫 棱 柱 的 底 面 (簡 稱 底 ),其 余 各 面 叫 棱 柱 的 側(cè) 面 ,相 鄰 側(cè) 面 的 公 共 邊 叫 側(cè) 棱 ,側(cè) 面 與 底 面 的 公 共 頂 點(diǎn) 叫棱 柱 的 頂 點(diǎn) 。 （ 1） 底 面 互 相 平 行 （ 2） 側(cè) 面 都 是平 行 四 邊 形 （ 3） 側(cè) 棱 平 行 且 相 等 棱 柱 的 分 類 ： 棱 柱 的 底 面 可 以 是 三 角 形 、四 邊 形 、 五 邊 形 、 我 們 把 這 樣 的 棱 柱分 別 叫 做 三 棱 柱 、 四 棱 柱 、 五 棱 柱 、 三 棱 柱 四 棱 柱 五 棱 柱 1. 側(cè) 棱 不 垂 直 于 底 的 棱 柱 叫 做 斜 棱 柱 2.側(cè) 棱 垂 直 于 底 的 棱 柱 叫 做 直 棱 柱 3. 底 面 是 正 多 邊 形 的 直 棱 柱 叫 做 正 棱 柱 長 方 體 按 如 圖 截 去 一 角 后 所 得 的 兩 部 分 還 是 棱 柱 嗎 ？探 究 :A B CD A B CD 長 方 體 按 如 圖 截 去 一 角 后 所 得 的 兩 部 分 還 是 棱 柱 嗎 ？探 究 : A B CDA B CD EF G HF E HG 答 ： 都 是 棱 柱 請 仔 細(xì) 觀 察 下 列 幾 何 體 ,說 說 它 們 的 共 同 特 點(diǎn) .定 義 :有 一 個 面 是 多 邊 形 ,其 余 各 面 都 是有 一 個 公 共 頂 點(diǎn) 的 三 角 形 ,由 這 些 面所 圍 成 的 幾 何 體 叫 做 棱 錐 。 SA B CD 頂 點(diǎn) 側(cè) 面?zhèn)?棱 底 面 棱 錐 中 ,這 個 多 邊 形 面叫 做 棱 錐 的 底 面 或 底 ,有公 共 頂 點(diǎn) 的 各 個 三 角 形面 叫 做 棱 錐 的 側(cè) 面 ,各 側(cè)面 的 公 共 頂 點(diǎn) 叫 做 棱 錐的 頂 點(diǎn) ,相 鄰 側(cè) 面 的 公 共邊 叫 做 棱 錐 的 側(cè) 棱 。棱 錐 的 有 關(guān) 概 念棱 錐 的 表 示用 表 示 頂 點(diǎn) 和 底 面 各 頂 點(diǎn) 的 字 母 表 示 ,如 圖 所示 的 棱 錐 表 示 為 ： “ 棱 錐 SABCD” 棱 錐 的 分 類 ： 按 底 面 多 邊 形 的 邊 數(shù) ， 可 以 分 為 三棱 錐 、 四 棱 錐 、 五 棱 錐 、 AB C DS棱 錐 的 性 質(zhì) ：側(cè) 面 、 對 角 面 都 是 三 角 形 ;平 行 于 底 面 的 截 面 與 底面 相 似 ,其 相 似 比 等 于 頂 點(diǎn) 到 截 面 距 離 與 高 的 比 的平 方 。 A B CDA B CD 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分是棱臺.棱 臺 的 有 關(guān) 概 念 ： 想 一 想 ： 下 列 幾 何 體 是 不 是 棱 臺 ,為 什 么 ?(1) (2) 概 念 性 質(zhì) 側(cè) 面 積 體 積 棱 柱 有 兩 個 面 互 相 平 行 ，其 余 各 面 都 是 四 邊形 ， 并 且 每 相 鄰 兩個 四 邊 形 的 公 共 邊都 互 相 平 行 ， 這 些面 圍 成 的 幾 何 體 叫做 棱 柱 。 (1)側(cè) 棱 都 相 等 ：(2)側(cè) 面 都 是 平 行四 邊 形 ：(3)兩 個 底 面 與 平行 底 面 的 截 面 是 全等 的 多 邊 形 ； 側(cè) 面 展開 圖 是一 組 平行 四 邊形 棱 錐 一 個 面 是 多 邊 形 ，其 余 各 面 是 有 一 個公 共 頂 點(diǎn) 的 三 角 形 ，由 這 些 面 所 圍 成 的幾 何 體 叫 做 棱 錐 。 平 行 底 面 的 截 面 與底 面 相 似 。 側(cè) 面 展開 圖 是一 組 三角 形 棱 臺 用 一 個 平 行 于 棱 錐底 面 的 平 面 去 截 棱 錐 ， 底 面 與 截 面 之間 的 部 分 叫 作 棱 臺 (1)上 下 兩 個 底 面互 相 平 行 ；(2)側(cè) 棱 的 延 長 線相 交 于 一 點(diǎn) ； 側(cè) 面 展開 圖 是一 組 梯形 ；有 兩 個 面 互 相 平 行 ，其 余 各 面 都 是 四 邊形 ， 并 且 每 相 鄰 兩個 四 邊 形 的 公 共 邊都 互 相 平 行 ， 這 些面 圍 成 的 幾 何 體 叫做 棱 柱 。一 個 面 是 多 邊 形 ，其 余 各 面 是 有 一 個公 共 頂 點(diǎn) 的 三 角 形 ，由 這 些 面 所 圍 成 的幾 何 體 叫 做 棱 錐 。用 一 個 平 行 于 棱 錐底 面 的 平 面 去 截 棱錐 ， 底 面 與 截 面 之間 的 部 分 叫 作 棱 臺 ( )側(cè) 棱 都 相 等 ：( )側(cè) 面 都 是 平 行四 邊 形 ：( )兩 個 底 面 與 平行 底 面 的 截 面 是全 等 的 多 邊 形 ；平 行 底 面 的 截 面與 底 面 相 似 。(1)上 下 兩 個 底 面互 相 平 行 ；(2)側(cè) 棱 的 延 長 線相 交 于 一 點(diǎn) ； 側(cè) 面 展開 圖 是一 組 平行 四 邊形 。側(cè) 面 展開 圖 是一 組 三角 形 。側(cè) 面 展開 圖 是一 組 梯形 ； V=Sh13V Sh AA母線定 義 ： 以 矩 形 的 一 邊 所 在 直 線 為旋 轉(zhuǎn) 軸 ,其 余 邊 旋 轉(zhuǎn) 形 成 的 曲 面 所圍 成 的 幾 何 體 叫 做 圓 柱 。（ 1） 圓 柱 的 軸 旋 轉(zhuǎn) 軸 .（ 2） 圓 柱 的 底 面 垂 直 于 軸的 邊 旋 轉(zhuǎn) 而 成 的 圓 面 。（ 3） 圓 柱 的 側(cè) 面 平 行 于 軸的 邊 旋 轉(zhuǎn) 而 成 的 曲 面 。（ 4） 圓 柱 側(cè) 面 的 母 線 無 論旋 轉(zhuǎn) 到 什 么 位 置 ， 不 垂 直 于 軸 的邊 。 BO BO 軸底 面?zhèn)让鎴A 柱 的 表 示 方 法 ： 用 表 示 它 的 軸 的 字 母 表示 ,如 :“ 圓 柱 OO” S 頂 點(diǎn)A BO 底 面軸側(cè)面母線定 義 ： 以 直 角 三 角 形 的一 條 直 角 邊 所 在 直 線 為旋 轉(zhuǎn) 軸 ,其 余 兩 邊 旋 轉(zhuǎn)形 成 的 曲 面 所 圍 成 的 幾何 體 叫 做 圓 錐 。 圓 錐 的 表 示 方 法 ： 用 表 示它 的 軸 的 字 母 表 示 ,如 :“ 圓 錐 SO” OO定 義 ： 用 一 個 平 行 于圓 錐 底 面 的 平 面 去 截圓 錐 ,底 面 與 截 面 之間 的 部 分 是 圓 臺 .想 一 想 :圓 臺 能 否 用旋 轉(zhuǎn) 的 方 法 得 到 ?若能 ,請 指 出 用 什 么 圖形 ?怎 樣 旋 轉(zhuǎn) ? 思 考 ： 圓 柱 、 圓 錐 和 圓 臺 都 是 旋 轉(zhuǎn) 體 ， 當(dāng)?shù)?面 發(fā) 生 變 化 時 ， 它 們 能 否 互 相 轉(zhuǎn) 化 ？上 底 擴(kuò) 大 上 底 縮 小 O 半 徑球 心定 義 ： 以 半 圓 的直 徑 所 在 直 線 為旋 轉(zhuǎn) 軸 ,半 圓 面旋 轉(zhuǎn) 一 周 形 成 的幾 何 體 .球 的 表 示 方 法 ： 用 表 示 球心 的 字 母 表 示 ,如 :“ 球 O” 簡 單 組 合 體 的 結(jié) 構(gòu) 特 征簡 單 組 合 體 構(gòu) 成 的 兩 種 基 本 形 式 ：A、 由 簡 單 幾 何 體 拼 接 而 成B、 由 簡 單 幾 何 體 截 去 或 挖 去 一 部 分 而 成 如 果 物 體 向 三 個 互 相 垂 直 的 投 影 面 分 別 投 影 ， 所 得 到的 三 個 圖 形 攤 平 在 一 個 平 面 上 ， 則 就 是 三 視 圖 。 三 視 圖 正 (主 )視 圖 從 正 面 看 到 的 圖 側(cè) (左 )視 圖 從 左 面 看 到 的 圖 俯 視 圖 從 上 面 看 到 的 圖 畫 物 體 的 三 視 圖 時 ,要 符 合 如 下 原 則 : 位 置 ： 正 視 圖 側(cè) 視 圖 俯 視 圖 大 小 ： 長 對 正 ,高 平 齊 ,寬 相 等 . 幾種基本幾何體三視圖 1.圓柱、圓錐、球的三視圖幾 何 體 主 視 圖 左 視 圖 俯 視 圖知 識 回 顧 幾種基本幾何體的三視圖2.棱柱、棱錐的三視圖幾 何 體 主 視 圖 左 視 圖 俯 視 圖知 識 回 顧 (1)在 已 知 圖 形 中 建 立 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy， 畫 直 觀圖 時 ， 它 們 分 別 對 應(yīng) x軸 和 y軸 ， 兩 軸 交 于 點(diǎn) O，使 xOy _(2)已 知 圖 形 中 平 行 于 x軸 或 y軸 的 線 段 ， 在 直 觀圖 中 分 別 畫 成 平 行 于 _的 線 段 (3)已 知 圖 形 中 平 行 于 x軸 的 線 段 ， 在 直 觀 圖 中 保持 _； 平 行 于 y軸 的 線 段 ， 長 度 為 原來 x軸 和 y軸原 長 度 不 變 45 一 般 說 來 ， 平 行 關(guān) 系 不 變 ； 點(diǎn) 的 共 線 性 不 變 ； 線 的 共 點(diǎn) 性 不 變 ； 但 角 的 大 小 有 變 化直 觀 圖 的 面 積 與 原 圖 面 積 之 比 題 型 一 幾 何 體 的 結(jié) 構(gòu) 、 幾 何 體 的 定 義 設(shè) 有 以 下 四 個 命 題 ： 底 面 是 平 行 四 邊 形 的 四 棱 柱 是 平 行 六 面 體 ； 底 面 是 矩 形 的 平 行 六 面 體 是 長 方 體 ； 直 四 棱 柱 是 直 平 行 六 面 體 ； 棱 臺 的 相 對 側(cè) 棱 延 長 后 必 交 于 一 點(diǎn) . 其 中 真 命 題 的 序 號 是 . 利 用 有 關(guān) 幾 何 體 的 概 念 判 斷 所 給 命 題 的 真 假 .題 型 分 類 深 度 剖 析 解 析 命 題 符 合 平 行 六 面 體 的 定 義 ,故 命 題 是正 確 的 ,底 面 是 矩 形 的 平 行 六 面 體 的 側(cè) 棱 可 能 與 底面 不 垂 直 ,故 命 題 是 錯 誤 的 ,因 直 四 棱 柱 的 底 面不 一 定 是 平 行 四 邊 形 ,故 命 題 是 錯 誤 的 ,命 題 由 棱 臺 的 定 義 知 是 正 確 的 .答 案 解 決 該 類 題 目 需 準(zhǔn) 確 理 解 幾 何 體 的 定義 ， 要 真 正 把 握 幾 何 體 的 結(jié) 構(gòu) 特 征 ， 并 且 學(xué) 會 通過 反 例 對 概 念 進(jìn) 行 辨 析 ， 即 要 說 明 一 個 命 題 是 錯誤 的 ， 設(shè) 法 舉 出 一 個 反 例 即 可 . 知 能 遷 移 1 下 列 結(jié) 論 正 確 的 是 （ ） A.各 個 面 都 是 三 角 形 的 幾 何 體 是 三 棱 錐 B.以 三 角 形 的 一 條 邊 所 在 直 線 為 旋 轉(zhuǎn) 軸 ， 其 余 兩 邊 旋 轉(zhuǎn) 形 成 的 曲 面 所 圍 成 的 幾 何 體 叫 圓 錐 C.棱 錐 的 側(cè) 棱 長 與 底 面 多 邊 形 的 邊 長 相 等 ， 則 此 棱 錐 可 能 是 六 棱 錐 D.圓 錐 的 頂 點(diǎn) 與 底 面 圓 周 上 的 任 意 一 點(diǎn) 的 連 線 都 是 母 線 解 析 A錯 誤 .如 圖 所 示 ， 由 兩 個 結(jié) 構(gòu) 相 同 的 三 棱 錐 疊 放 在 一 起 構(gòu) 成 的 幾 何 體 ,各 面 都 是 三 角 形 ， 但 它 不 一 定 是 棱 錐 . B錯 誤 .如 下 圖 ， 若 ABC不 是 直 角 三 角形 或 是 直 角 三 角 形 ,但 旋 轉(zhuǎn) 軸 不 是 直 角邊 ， 所 得 的 幾 何 體 都 不 是 圓 錐 .C錯 誤 .若 六 棱 錐 的 所 有 棱 長 都 相 等 ，則 底 面 多 邊 形 是 正 六 邊 形 .由 幾 何 圖 形 知 ， 若 以 正六 邊 形 為 底 面 ， 側(cè) 棱 長 必 然 要 大 于 底 面 邊 長 . D正 確 .答 案 D 【 思 路 點(diǎn) 撥 】 根 據(jù) 直 觀 圖 的 畫 法 規(guī) 則 求 出 ABC的 高 即 可 題 型 二 幾 何 體 的 直 觀 圖 【 解 析 】 【 答 案 】 D 知 能 遷 移 2 如 圖 所 示 ， 直 觀 圖 四 邊 形 A B C D 是 一 個 底 角 為 45 ， 腰 和 上 底 均 為 1的 等 腰 梯 形 ， 那 么 原 平 面 圖 形 的 面 積 是 . 解 析 把 直 觀 圖 還 原 為 平 面 圖 形 得 ： 直 角 梯 形 ABCD中 ， AB=2， BC=1+ ， AD=1，2.222)22(21 面 積 為答 案 22 題 型 三 幾 何 體 的 三 視 圖 (2009 山 東 ， 4)一 空 間 幾 何 體 的 三 視 圖 如 圖 所 示 ， 則 該 幾 何 體 的 體 積 為 （ ） A. B. C. D.322 324 3322 3324 由 幾 何 體 的 三 視 圖 ， 畫 出 幾 何 體 的 直觀 圖 ， 然 后 利 用 體 積 公 式 求 解 .解 析 該 空 間 幾 何 體 為 一 圓 柱 和 一 四 棱 錐 組 成 ，圓 柱 的 底 面 半 徑 為 1， 高 為 2， 體 積 為 2 ， 四 棱 錐的 底 面 邊 長 為 ， 高 為 ， 所 以 體 積 為 所 以 該 幾 何 體 的 體 積 為答 案 C 通 過 三 視 圖 間 接 給 出 幾 何 體 的 形 狀 ,打破 以 往 直 接 給 出 幾 何 體 并 給 出 相 關(guān) 數(shù) 據(jù) 進(jìn) 行 相 關(guān)運(yùn) 算 的 傳 統(tǒng) 模 式 ,使 三 視 圖 與 傳 統(tǒng) 意 義 上 的 幾 何 體有 機(jī) 結(jié) 合 ,這 也 體 現(xiàn) 了 新 課 標(biāo) 的 思 想 .2 2)2(31,3323 .3322 3 知 能 遷 移 3 一 個 幾 何 體 的 三 視 圖 如 圖 所 示 ， 其 中 正 視 圖 與 側(cè) 視 圖 都 是 邊 長 為 2的 正 三 角 形 ， 則 這 個 幾 何 體 的 側(cè) 面 積 為 （ ） A. B. C. D. 解 析 由 三 視 圖 知 ， 該 幾 何 體 為 一 圓 錐 ， 其 中 底 面 直 徑 為 2， 母 線 長 為 2， S 側(cè) = rl = 1 2=2 .33 2 3 4 B 例4. 球內(nèi)接正方體的表面積與球的表面積的比為（ ） （A）2： （B）3： （C）4： （D）6：A題 型 四 多 面 體 與 球 練 一 練 ： 1、 將 一 個 直 角 梯 形 繞 其 較 短 的 底 所在 的 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周 得 到 一 個 幾 何 體 ， 關(guān) 于 該 幾何 體 的 以 下 描 繪 中 ， 正 確 的 是 ( )A、 是 一 個 圓 臺 B、 是 一 個 圓 柱 C、 是 一 個 圓 柱 和 一 個 圓 錐 的 簡 單 組 合 體 D、 是 一 個 圓 柱 被 挖 去 一 個 圓 錐 后 所 剩 的 幾 何 體D 2. 已 知 圓 錐 的 軸 截 面 等 腰 三 角 形 的 腰 長 為 5cm,面 積 為 12cm,求 圓 錐 的 底 面 半 徑 .3.已 知 圓 柱 的 底 面 半 徑 為 3cm,軸 截 面 面 積 為24cm,求 圓 柱 的 母 線 長 .4已知圓錐的母線長為8，底面周長為6，則它的體積是 . 3 55R=3或 R=4L=4cm 5. 圓臺的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長10，則圓臺的體積為（ ） （A）672 （B）224 （C）100 （D）5443 B 6.已 知 一 幾 何 體 的 三 視 圖 如 下 圖 ， 試 求 其 表 面 積 與 體 積 .直 觀 圖 2 32 3 6 , 3cm cm2 2 C BA D7.