第三章圓錐曲線與方程 知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建要點(diǎn)歸納 主干梳理方法總結(jié) 思想構(gòu)建欄目索引 知識網(wǎng)絡(luò) 整 體 構(gòu) 建 返 回 要點(diǎn)歸納 主 干 梳 理1.能夠熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求橢圓方程；能夠利用“坐標(biāo)法”研究橢圓的基本性質(zhì)；能夠利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、參數(shù)法解決橢圓中的有關(guān)問題.2.能夠根據(jù)所給的幾何條件熟練地求出雙曲線方程，并能靈活運(yùn)用雙曲線定義、參數(shù)間的關(guān)系解決相關(guān)問題；準(zhǔn)確理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系、漸近線及其幾何意義，并靈活運(yùn)用.3.會根據(jù)方程形式或焦點(diǎn)位置判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；會根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其幾何性質(zhì)以及會由幾何性質(zhì)確定拋物線的方程.了解拋物線的一些實(shí)際應(yīng)用. 返 回 方法總結(jié) 思 想 構(gòu) 建1.數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)形結(jié)合”指的是在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧結(jié)合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到解決.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、求最值等問題，可以結(jié)合圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，化抽象為具體，使問題變得簡單. 解 析 答 案 A.(1,3) B.(1,3C.(3， ) D.3， ) 解析如圖所示，由|PF1|2|PF2|知P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a，又|PF1|2|PF2|， |PF1|4a，|PF2|2a，在F1PF2中，由余弦定理得 0 F1PF2 ，且當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)， F1PF2，1 cos F 1PF20)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點(diǎn)，F(xiàn)是它的焦點(diǎn)，若|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則()A.x1，x2，x3成等差數(shù)列B.y1，y2，y3成等差數(shù)列C.x1，x3，x2成等差數(shù)列D.y1，y3，y2成等差數(shù)列 解析 如圖，過A、B、C分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A，B，C，由拋物線定義知：|AF|AA |，|BF|BB |，|CF|CC |. 2|BF|AF|CF|， 2|BB |AA |CC |.答案A 2.分類討論思想分類討論思想是指當(dāng)所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對研究的對象進(jìn)行分類，然后對每一類進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果得到整個問題的結(jié)果.如曲線方程中含有的參數(shù)的取值范圍不同，對應(yīng)的曲線也不同，這時(shí)要討論字母的取值范圍，有時(shí)焦點(diǎn)位置也要討論，直線的斜率是否存在也需要討論. 解 析 答 案 解 析 答 案 跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)P(2，6)；由已知得a2b.由得a2148，b237或a252，b213. 解 析 答 案 解當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓過點(diǎn)P(3,0)， a3.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓過點(diǎn)P(3,0)， b3. 3.函數(shù)與方程思想圓錐曲線中的許多問題，若能運(yùn)用函數(shù)與方程的思想去分析，則往往能較快地找到解題的突破口.用函數(shù)思想解決圓錐曲線中的有關(guān)定值、最值問題，最值問題是高中數(shù)學(xué)中常見的問題，在圓錐曲線問題中也不例外，而函數(shù)思想是解決最值問題最有利的武器.我們通常可用建立目標(biāo)函數(shù)的方法解有關(guān)圓錐曲線的最值問題.方程思想是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過聯(lián)想與類比，將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組，然后通過解方程或方程組使問題獲解，方程思想是高中數(shù)學(xué)中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圓錐曲線方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題中經(jīng)常利用方程或方程組來解決. 解 析 答 案 解方法一設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0. 解 析 答 案 直線xy10的斜率k1.聯(lián)立ax2by21與xy10可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的兩根， 解 析 答 案且直線AB的斜率k1， 解 析 答 案 3 4.化歸與轉(zhuǎn)化思想將所研究的對象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對象的思想方法稱之為化歸與轉(zhuǎn)化思想.一般將有待解決的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題模式.轉(zhuǎn)化與化歸思想在圓錐曲線中經(jīng)常應(yīng)用，如把直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的個數(shù)問題，把求參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為解不等式(組)問題，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，需要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性. 解 析 答 案 例4已知點(diǎn)A(4，2)，F(xiàn)為拋物線y28x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動，當(dāng)|MA|MF|取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為()解析過點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E，由拋物線定義知|MF|ME|.當(dāng)點(diǎn)M在拋物線上移動時(shí)，|MF|MA|的值在變化，顯然M移到M，AM Ox時(shí)，A，M，E共線，此時(shí)|ME|MA|最小，D 解 析 答 案 (1)求點(diǎn)Q(x，y)的軌跡C的方程；解由題意得， 解 析 答 案 (2)設(shè)曲線C與直線ykxm相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)A(0，1)，當(dāng)|AM|AN|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 析 答 案 由于直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)， 0，即m2m2，解得0m2，( )當(dāng)k0時(shí)，|AM|AN|， AP MN，m23k21即為m21，解得1m1.當(dāng)k0時(shí)，m的取值范圍是(1,1). 課堂小結(jié)1.圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是考查圓錐曲線的一個重要命題點(diǎn).2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，對圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種：一是在解答題中作為試題的入口進(jìn)行考查；二是在選擇題和填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)進(jìn)行考查.3.雖然考綱中沒有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識，但直線與圓錐曲線是密不可分的，如雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線、圓錐曲線的對稱軸等都是直線.考試不但不回避直線與圓錐曲線，而且在試題中進(jìn)行重點(diǎn)考查，考查方式既可以是選擇題、填空題，也可以是解答題. 返 回 4.考綱對曲線與方程的要求是“了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系”，考試對曲線與方程的考查主要體現(xiàn)在以利用圓錐曲線的定義、待定系數(shù)法、直接法和代入法等方法求圓錐曲線的方程.5.對圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互交匯，對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行，一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運(yùn)用.