第 三 章 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 與 貝 努 利 不 等 式 3.1 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 原 理 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍.3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. 1.歸 納 法由有限多個(gè)個(gè)別的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,通常稱為歸納法.名 師 點(diǎn) 撥根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部,歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法.(1)不完全歸納法是根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得到一般結(jié)論的推理方法.不完全歸納法所得到的命題不一定是成立的,但它是一種重要的思考問(wèn)題的方法,是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一把鑰匙,是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律,用數(shù)學(xué)歸納法證明是解決問(wèn)題的一種重要途徑.(2)完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法,又叫枚舉法.與不完全歸納法不同,用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況不多時(shí), 采用完全歸納法. 【 做 一 做 1-2】 從1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,猜想第n個(gè)式子為. 2.數(shù) 學(xué) 歸 納 法一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k N,且kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.完成兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法. 名 師 點(diǎn) 撥 1.這兩個(gè)步驟缺一不可,只完成步驟(1)而缺少步驟(2),就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論.因?yàn)閱慰坎襟E(1),無(wú)法遞推下去,即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確,我們無(wú)法判定.同樣,只有步驟(2)而缺少步驟(1),也可能得出不正確的結(jié)論.缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ),假設(shè)就失去了成立的前提,步驟(2)也就沒(méi)有意義了.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵在第二步,即n=k+1時(shí)為什么成立?n=k+1時(shí)成立是利用假設(shè)n=k時(shí)成立,根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n=k+1時(shí)命題成立,而不是直接代入,否則n=k+1時(shí)也成假設(shè)了,命題并沒(méi)有得到證明.3.用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題,但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都用數(shù)學(xué)歸納法證明,學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析. 【 做 一 做 2-1】 下列說(shuō)法中不正確的是()A.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟相互依存,缺一不可B.數(shù)學(xué)歸納法證明的是與正整數(shù)有關(guān)的命題C.數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù)D.數(shù)學(xué)歸納法中第一步必須從n=1開始答 案 :D 故當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.上述的證明過(guò)程中,不正確的一步的序號(hào)為.解 析 :在(2)中,由n=k到n=k+1的證明,沒(méi)有用上歸納假設(shè),故(2)錯(cuò)誤.答 案 :(2) 1.為 什 么 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 能 夠 證 明 無(wú) 限 多 正 整 數(shù) 都 成 立 的 問(wèn) 題 呢 ?剖 析 :這是因?yàn)榈谝徊绞紫闰?yàn)證了n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立,這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ).假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,根據(jù)假設(shè)和合理推證,證明出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.這實(shí)質(zhì)上是證明了一種循環(huán).如驗(yàn)證了當(dāng)n0=1時(shí)命題成立,又證明了當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,這就一定有當(dāng)n=2時(shí)命題成立,當(dāng)n=2時(shí)命題成立,則當(dāng)n=3時(shí)命題也成立;當(dāng)n=3時(shí)命題成立,則當(dāng)n=4時(shí)命題也成立.如此反復(fù),以至無(wú)窮.對(duì)所有nn0的正整數(shù)命題就都成立了.數(shù)學(xué)歸納法非常巧妙地解決了一種無(wú)限多的正整數(shù)問(wèn)題,這就是數(shù)學(xué)方法的神奇. 2.什 么 時(shí) 候 可 以 運(yùn) 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 ,證 明 時(shí) n0是 否 一 定 要 為 1?剖 析 :數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些涉及正整數(shù)n的命題,n可取無(wú)限多值,但不能簡(jiǎn)單地說(shuō)所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明,例如用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n N*)的單調(diào)性就難以實(shí)現(xiàn),一般說(shuō)來(lái),從n=k到n=k+1時(shí),若問(wèn)題中存在可利用的遞推關(guān)系,則使用數(shù)學(xué)歸納法就較簡(jiǎn)單,否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),要注意起點(diǎn)n并非一定取1,也可能取2等值,要看清題目,比如證明凸n邊形的內(nèi)角和f(n)=(n-2)180,這里面的n應(yīng)不小于3,即n3,第一個(gè)值n 0=3. 題型一 題型二 題型三 題型四用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 恒 等 式【 例 1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:分 析 :用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的關(guān)鍵是第二步,要注意當(dāng)n=k+1時(shí)等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng),問(wèn)題就會(huì)順利解決. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型四題型三用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 整 除 性 問(wèn) 題【 例 2】 求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n N*.分 析 :對(duì)于多項(xiàng)式A,B,如果A=BC,C也是多項(xiàng)式,那么A能被B整除.若A,B都能被C整除,則A+B,A-B也能被C整除.證 明 :(1)當(dāng)n=1時(shí),a1+1+(a+1)21-1=a2+a+1,命題顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k N*,且k1)時(shí),ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aa k+1+(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1.由歸納假設(shè),得上式中的兩項(xiàng)均能被a2+a+1整除,故當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)一切n N*,命題成立. 題型一 題型二 題型四題型三反 思證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”,采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、因式分解等手段,湊出當(dāng)n=k時(shí)的情形,從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得證. 題型一 題型二 題型三 題型四用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 幾 何 問(wèn) 題【 例 3】 平面內(nèi)有n個(gè)圓,任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn),任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn),求證:這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分(n N*).分 析 :因?yàn)閒(n)為n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù),那么再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交,就有2n個(gè)交點(diǎn),這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧,且每一段弧又將原來(lái)的平面區(qū)域一分為二,所以增加一個(gè)圓后,平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述關(guān)系,數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明可迎刃而解. 題型一 題型二 題型三 題型四證 明 :(1)當(dāng)n=1時(shí),一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1時(shí)命題成立.(2)假設(shè)n=k(k N*,且k1)時(shí)命題成立,即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分,則當(dāng)n=k+1時(shí),在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O,剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分,而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn),這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1) 2-(k+1)+2.故當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)一切n N*,命題成立. 題型一 題型二 題型三 題型四反 思對(duì)于用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題,可以先從有限情形中歸納出一個(gè)變化的過(guò)程,或者說(shuō)體會(huì)出是怎樣變化的,再去證明.也可以用“遞推”的辦法,比如本題,當(dāng)n=k+1時(shí)的結(jié)果已知道:f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2,用f(k+1)-f(k)就可得到增加的部分,然后從有限的情況來(lái)理解如何增加的,也就好理解了. 題型一 題型二 題型三 題型四 易 錯(cuò) 辨 析易 錯(cuò) 點(diǎn) :在 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 有 關(guān) 問(wèn) 題 時(shí) ,兩 步 缺 一 不 可 ,且 最 易出 錯(cuò) 的 地 方 是 在 第 二 步 證 明 中 未 用 歸 納 假 設(shè) .【 例 4】 已知在數(shù)列an中,a1=3,其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=6-2an+1,計(jì)算a2,a3,a4,然后猜想出an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.錯(cuò) 解 :當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an) 題型一 題型二 題型三 題型四錯(cuò) 因 分 析 :本題在證明時(shí)出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤是未用歸納假設(shè). 題型一 題型二 題型三 題型四 1 2 3 4 51下列代數(shù)式中,n N*,則可能被13整除的是()A.n3+5n B.34n+1+52n+1C.62n-1+1 D.42n+1+3n+2解 析 :當(dāng)n=1時(shí),只有D項(xiàng)能被13整除.答 案 :D 1 2 3 4 52若凸n邊形有f(n)條對(duì)角線,則凸(n+1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n+1)為()A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2解 析 :從凸n邊形到凸(n+1)邊形,對(duì)角線增加了(n-1)條.答 案 :C 1 2 3 4 53下列四個(gè)判斷中,正確的是()A.式子1+k+k2+kn(n N*),當(dāng)n=1時(shí)為1B.式子1+k+k2+kn-1(n N*),當(dāng)n=1時(shí)為1+k解 析 :對(duì)于選項(xiàng)A,n=1時(shí),式子應(yīng)為1+k;選項(xiàng)B中,n=1時(shí),式子應(yīng)為1;答 案 :C 1 2 3 4 54已知在數(shù)列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除,假設(shè)a4k能被4整除,則下一步證明.答 案 :a4k+4能被4整除 1 2 3 4 55某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+22+2n-1=2n-1的過(guò)程如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k N*,且k1)時(shí),等式成立,即1+2+22+2k-1=2k-1;即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)任意正整數(shù)n等式成立.以上證明過(guò)程的錯(cuò)誤是.答 案 :第(2)步未用歸納假設(shè)