本章整合 專題專題數學歸納法證題的常用技巧在 使 用 數 學 歸 納 法 證 明 時 ,一 般 說 來 ,第 一 步 ,驗 證 比 較 簡 明 ,而 第二 步 歸 納 步 驟 情 況 較 復 雜 .因 此 ,熟 悉 歸 納 步 驟 的 證 明 方 法 是 十 分重 要 的 ,其 實 歸 納 步 驟 可 以 看 作 是 一 個 獨 立 的 證 明 問 題 ,歸 納 假 設“P(k)”是 問 題 的 條 件 ,而 命 題 P(k+1)成 立 就 是 所 要 證 明 的 結 論 ,因 此 ,合 理 運 用 歸 納 假 設 這 一 條 件 就 成 了 歸 納 步 驟 中 的 關 鍵 ,下 面 簡 要 分析 一 些 常 用 技 巧 .1.分析綜合法用 數 學 歸 納 假 設 證 明 關 于 自 然 數 n的 不 等 式 ,從 “P(k)”到 “P(k+1)”,常 常 可 用 分 析 綜 合 法 . 專題 專題 專題 專題2(ak+1+bk+1) (a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1) 0ak+1-abk-bak+bk+1 0(a-b)(ak-bk) 0.因為a-b與(a k-bk)同正負(或同時為0),所以最后一個不等式顯然成立,即當n=k+1時,不等式成立. 專題2.放縮法涉 及 關 于 正 整 數 n的 不 等 式 ,從 “k”過 渡 到 “k+1”,有 時 也 考 慮 用 放縮 法 . 專題 專題3.遞推法用 數 學 歸 納 法 證 明 與 數 列 有 關 的 問 題 時 ,有 時 要 利 用 an與 an+1的關 系 ,實 現(xiàn) 從 “k”到 “k+1”的 過 渡 . 專題即當n=k+1時,原不等式也成立.根據(1)(2)可知,當n N *時,原不等式都成立. 專題4.構造配湊法用 數 學 歸 納 法 證 明 關 于 正 整 數 的 命 題 (尤 其 是 整 除 )時 ,從 “k”過 渡到 “k+1”常 常 用 構 造 配 湊 法 .應用5求 證 :62n+3n+2+3n是 11的 倍 數 (n N*).證明:(1)當n=1時,62 1+31+2+31=66,是11的倍數.(2)假設當n=k(k N*,且k 1)時,命題成立,即62k+3k+2+3k是11的倍數.則當n=k+1時,6 2(k+1)+3k+3+3k+1=62k+2+3k+3+3k+1=3662k+33k+2+33k=3362k+362k+33k+2+33k=3362k+3(62k+3k+2+3k).由假設可知3(62k+3k+2+3k)是11的倍數,而3362k也是11的倍數,故n=k+1時,原命題也成立.根據(1)(2)可知,對任意n N*原命題成立. 專題5.幾何法“幾 何 類 ”命 題 的 證 題 關 鍵 是 先 要 從 證 明 當 n=k+1時 命 題 成 立 的結 論 中 ,分 解 出 當 n=k時 命 題 成 立 的 部 分 ,然 后 去 證 余 下 的 部 分 .應用6在 同 一 平 面 內 有 n條 直 線 ,每 兩 條 不 平 行 ,任 意 三 條 不 共 點 ,求 證 :它 們 將 此 平 面 分 專題 (湖北高考)(1)已 知 函 數 f(x)=rx-xr+(1-r)(x0),其 中 r為 有 理 數 ,且0r1,求 f(x)的 最 小 值 ;(2)試 用 (1)的 結 果 證 明 如 下 命 題 :設 a1 0,a2 0,b1,b2為 正 有 理 數 ,若 b1+b2=1,則 a1b1+a2b2;(3)請 將 (2)中 的 命 題 推 廣 到 一 般 形 式 ,并 用 數 學 歸 納 法 證 明 你 所推 廣 的 命 題 .注 :當 為 正 有 理 數 時 ,有 求 導 公 式 (x)=x-1.解:(1)f(x)=r-rx r-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得x=1.當0 x1時,f(x)1時,f(x)0,所以f(x)在(1,+)內是增函數.故函數f(x)在x=1處取得最小值f(1)=0. ( )假設當n=k時,成立,即若a1,a2,ak為非負實數,b1,b2,bk為正有理數, 又(1-bk+1)+bk+1=1,由得 bk+1)+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1,故當n=k+1時,成立.根據( )( )可知,對一切正整數n,所推廣的命題成立.說明:(3)中如果推廣形式中指出式對n 2成立,則后續(xù)證明中不需討論n=1的情況.