第 二 章 圓錐曲線與方程 2.1曲線與方程 自主學習 新知突破 1結(jié)合實例，了解曲線與方程的對應關(guān)系2了解求曲線方程的步驟3會求簡單曲線的方程 在平面直角坐標系中，到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程中問題1 直線yx上任一點M到兩坐標軸的距離相等嗎？提示1 相等 問題2 到兩坐標軸距離相等的點都在直線yx上嗎？提示2 不是問題3 到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是什么？提示3 yx. 曲線的方程和方程的曲線的定義前提在平面直角坐標系中曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)方程f(x，y)0(關(guān)于x，y的方程)關(guān)系(1)曲線上_都是這個方程的解(2)以這個方程的_為_都是曲線上的點結(jié)論方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線點的坐標解坐標的點 正確理解曲線與方程的概念(1)定義中的條件(1)闡明了曲線具有純粹性(或方程具有完備性)，即曲線上的所有點的坐標都適合這個方程而毫無例外；條件(2)闡明了曲線具有完備性(或方程具有純粹性)，即適合條件的點都在曲線上而毫無遺漏 (2)曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念，曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系，而方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形，其實質(zhì)是曲線C的點集M|p(M)和方程f(x，y)0的解集(x，y)|f(x，y)0之間的一一對應關(guān)系曲線的性質(zhì)完全反映在它的方程上，方程的性質(zhì)又反映在它的曲線上 求曲線方程的一般步驟 正確認識求曲線方程的一般步驟求曲線方程的五個步驟構(gòu)成一個有機的整體，每一步都有其特點和重要性第一步在具體問題中有兩種情況(1)所研究的問題中已給定了坐標系，此時就在給定的坐標系中求方程即可； (2)原題中沒有坐標系，此時必須建立適當?shù)淖鴺讼担ǔ＿x取特殊位置的點為原點，相互垂直的直線為坐標軸第二步是求方程的重要一環(huán)，應仔細分析曲線的幾何特征，注意揭示隱含條件，抓住與曲線上任意一點M有關(guān)的等量關(guān)系，列出幾何等式第三步將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的過程中常用到一些基本公式，如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、直線的斜率公式等第四步在化簡方程的過程中，注意運算的合理性與準確性，盡量避免“失解”和“增解”對于第五步“證明”，從理論上講是必要的，但在實際處理中常被省略掉，這在多數(shù)情況下是沒有問題的，如遇特殊情況，可適當予以說明 1方程x2xyx的曲線是()A一個點B一個點和一條直線C一條直線D兩條直線解析：方程可化為x(xy1)0，x0或xy10.因此方程的曲線是兩條直線答案：D 2已知曲線C的方程為x2xyy50，則下列各點中，在曲線C上的點是()A(1,2) B(1，2)C(2，3) D(3,6)解析：將四個點的坐標一一代入曲線C的方程，若成立，則說明點在曲線上答案：A 3過點A(2,0)的直線與圓x2y216交于兩點M，N，則弦MN的中點P的軌跡方程是_解析：由于OPMN且A在圓x2y216內(nèi)，故P點軌跡是以O(shè)A為直徑的圓答案：(x1)2y21 4到兩坐標軸距離相等的點滿足的方程是xy0嗎？為什么？解析：顯然不對(只具備條件(2)，而不具備條件(1)這是因為，到兩坐標軸距離相等的點的軌跡是兩條直線：l1：xy0和l2：xy0，直線l1上的點的坐標都是方程xy0的解，但直線l2上的點(除原點外)的坐標不是方程xy0的解，方程xy0只是直線l1的方程，它不是所求軌跡的方程. 合作探究 課堂互動 曲線與方程的概念 由曲線方程的定義，點是否在曲線上的條件為點的坐標是否為方程的解解決此類問題時，只要將點的坐標代入到曲線方程中即可這是曲線與方程最簡單的內(nèi)容，同學們應該理解曲線與方程概念的基礎(chǔ)上熟練把握 討論方程x2yy2x0的曲線的性質(zhì)，并描繪其曲線思路點撥：畫方程的曲線時，應從對稱性、單調(diào)性、與坐標軸的交點等幾個方面考慮由方程研究曲線的性質(zhì) 討論了曲線的范圍、對稱性和截距等曲線的變化情況以后，再進行描點畫圖，只要描出較少的點，就能得到較準確的圖形 在ABC中，B(1,0)，C(1,0)，若BC邊上的高為2，求垂心H的軌跡方程求曲線的方程 求曲線方程的基本步驟是，建系設(shè)點、列等式、代換、化簡、說明“五步法”，在解題時，根據(jù)題意，正確列出方程是關(guān)鍵，還要注意最后一步，如果不符合題意的特殊點要加以說明這里還要提出一點，一般情況下，求出曲線方程后的證明可以省去 3過定點A(a，b)任作互相垂直的兩條線l1與l2，且l1與x軸交于M點，l2與y軸交于N點，求線段MN中點P的軌跡方程 等腰三角形的頂點是A(4,2)，底邊一個頂點是B(3,5)，求另一個頂點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么？ 【錯因】造成以上錯誤的原因是沒有認真考慮題目要求的幾何條件實際上有兩個：(1)A，B，C三點要組成一個三角形；(2)A，B，C三點組成的三角形是一個等腰三角形錯解過程中，只是根據(jù)條件(2)，由|AC|AB|求出方程，所得方程保證滿足條件(2)，而無法保證滿足條件(1)，解題后沒有進行檢驗，因此造成解題不嚴密