第 二 章推理與證明 21合情推理與演繹推理2.1.1合情推理 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理2了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 問(wèn)題1我們熟知的三國(guó)演義第46回草船借箭中諸葛亮先生的推理過(guò)程是怎樣的呢？提示1諸葛亮“先生”的推理過(guò)程是 問(wèn)題2蛇是用肺呼吸的，鱷魚(yú)是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鱷魚(yú)，海龜，蜥蜴都是爬行動(dòng)物，所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的嗎？提示2是所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的 問(wèn)題3觀察下圖由平面內(nèi)的圓，我們聯(lián)想到空間里的球，讓它們來(lái)類比你能找到它們有哪些類似的特征？ 提示3魯班類比草葉的邊緣發(fā)明了鋸，平面中的圓與空間中的球有類似的特征 歸納推理 定義特征由某類事物的_具有某些特征，推出該類事物的_都具有這些特征的推理，或者由_概括出_的推理，稱為歸納推理歸納推理是由_、由_的推理部分對(duì)象全部對(duì)象個(gè)別事實(shí)一般結(jié)論部分到整體個(gè)別到一般 1歸納推理的特點(diǎn)與應(yīng)用(1)歸納推理是由幾個(gè)已知的特殊情況歸納出一般性的結(jié)論，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍(2)歸納出的結(jié)論具有猜測(cè)性質(zhì)，是否屬實(shí)，還需邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)即結(jié)論不一定可靠(3)歸納立足于觀察、實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過(guò)歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題 類比推理 定義特征由兩類對(duì)象具有某些_特征和其中一類對(duì)象的某些_，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理類比推理是由_的推理類似已知特征特殊到特殊 2類比推理的特點(diǎn)及適用前提(1)類比推理的特點(diǎn)類比是由已經(jīng)解決的問(wèn)題和已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā)，推測(cè)正在研究的事物的屬性，提出新問(wèn)題，作出新發(fā)現(xiàn)類比的結(jié)果是猜測(cè)性的，不一定可靠，但它有發(fā)現(xiàn)功能 (2)類比推理的適用前提運(yùn)用類比推理的前提是兩類對(duì)象在某些性質(zhì)上有相似性或一致性，關(guān)鍵是把這些相似性或一致性確切地表述出來(lái)，再由一類對(duì)象具有的特性去推斷另一類對(duì)象也可能具有的特性運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對(duì)象 1合情推理的含義歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)_、_、_、_，再進(jìn)行_、_，然后提出_的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理2合情推理的過(guò)程合情推理 觀察分析比較聯(lián)想歸納類比猜想 1下列哪個(gè)平面圖形與空間的平行六面體作為類比對(duì)象比較合適的是()A三角形B梯形C平行四邊形 D矩形解析：由類比推理的定義和特點(diǎn)判斷，易知選C.答案：C 2下列關(guān)于歸納推理的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A歸納推理是一種從一般到一般的推理過(guò)程B歸納推理是一種從特殊到一般的推理過(guò)程C歸納推理得出的結(jié)論不一定正確D歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)知功能解析：歸納推理是由特殊到一般的推理，其結(jié)論不一定正確，但能為探尋結(jié)論(一般性)提供明確的方向，故B、C、D正確，而A錯(cuò)誤故選A.答案：A 4已知數(shù)列an滿足a11，an12an1(n1,2,3)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.解析：(1)a11，a23221，a37231，a415241，a 531251.(2)可歸納猜想出an2n1(nN*) 合作探究 課堂互動(dòng) 數(shù)列中的歸納推理 思路點(diǎn)撥 歸納推理的步驟在數(shù)列中，常用歸納推理猜測(cè)通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知功能，歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想) 圖形中的歸納推理 在一次珠寶展覽會(huì)上，某商家展出了一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成的如圖所示的正六邊形，第四、五件首飾分別是由28顆和45顆珠寶構(gòu)成的如圖和所示的正六邊形，以后每件首飾都在前一件的基礎(chǔ)上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷第六件首飾上應(yīng)有_顆珠寶，第n件首飾上應(yīng)有_顆珠寶 方法一：5件首飾的珠寶顆數(shù)依次為1,623,1535,2847,4559，歸納猜想第6件首飾上的珠寶數(shù)為61166(顆)，第n件首飾上的珠寶顆數(shù)為n(2n1)2n2n(顆)方法二：5件首飾的珠寶顆數(shù)依次為：1,15,159,15913,1591317，則第6件首飾上的珠寶顆數(shù)為15913172166，即每件首飾上的珠寶數(shù)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，故第n件首飾的珠寶顆數(shù)為159(4n3)2n 2n.答案：662n2n 圖形中歸納推理的特點(diǎn)及思路1此類題目的特點(diǎn)：由一組平面或空間圖形，歸納猜想其數(shù)量的變化規(guī)律，這類題頗有智力趣題的味道，解答時(shí)常用歸納推理的方法解決，分析時(shí)要注意規(guī)律的尋找2解決這類問(wèn)題從哪入手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣變化 2在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,15,21,28,36, 45,55，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成正三角形(如圖所示)，則三角形數(shù)的一般表達(dá)式f(n)() 答案：D 類比推理 如圖所示，在ABC中，射影定理可表示為abcos Cccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫(xiě)出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想思路點(diǎn)撥這是一個(gè)由平面圖形到空間圖形的類比，于是聯(lián)想到：邊長(zhǎng)面積，平面角二面角，邊的射影面的射影等 類比推理的步驟運(yùn)用類比推理必須尋找合適的類比對(duì)象，充分挖掘事物的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系在應(yīng)用類比推理時(shí)，其一般步驟為：(1)找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性)(2)用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想(3)檢驗(yàn)這個(gè)猜想 3在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1 2，則它們的面積比為1 4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1 2，它們的體積比為多少？你能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎？ 如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB，平面SAC，平面SBC與底面ABC所成角分別為1，2，3，三條側(cè)棱SC，SB，SA與底面ABC所成的角為1，2，3，三側(cè)面SAB，SAC，SBC的面積分別為S1，S2，S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個(gè)猜想