2.2.2反證法 自主學(xué)習(xí)新知突破 1了解間接證明的一種基本方法反證法2了解反證法的思考過程、特點(diǎn)3理解反證法的推理過程，證明步驟，體會(huì)直接證明與間接證明的區(qū)別與聯(lián)系 1思考：A、B、C三個(gè)人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊則C必定是在撒謊，為什么？ 提示假設(shè)C沒有撒謊， 則C真. 那么A假且B假；由A假，知B真這與B假矛盾那么假設(shè)C沒有撒謊不成立，則C必定是在撒謊 2已知正整數(shù)a，b，c滿足a2b2c2 ，求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)問題1你能利用綜合法和分析法證明該問題嗎？提示1不能問題2a，b，c不可能都是奇數(shù)的反面是什么？提示2都是奇數(shù) 假設(shè)原命題_，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_，從而證明了_，這種證明方法叫作反證法反證法的定義不成立假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與_矛盾，或與_矛盾，或與_矛盾等反證法常見的矛盾類型已知條件假設(shè)定義、公理、定理、事實(shí) 反證法的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng)：(1)反證法的實(shí)質(zhì)反證法不直接證明命題，而是從原命題的反面入手，合乎邏輯地推出一個(gè)矛盾結(jié)果，由于兩個(gè)相互矛盾的判斷必有一真一假，由此肯定命題“若p則q”為真(2)注意事項(xiàng)用反證法證明問題的第一步是“反設(shè)”，這一步一定要準(zhǔn)確，否則后面的過程毫無意義反證法的“歸謬”要合理 1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用()結(jié)論的否定；已知條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論ABCD解析：根據(jù)反證法的定義，推導(dǎo)過程中，不能把原結(jié)論作為條件使用，其他都可以答案：C 2用反證法證明：“若a，b兩數(shù)之積為0，則a，b至少有一個(gè)為0”，應(yīng)假設(shè)()Aa，b沒有一個(gè)為0 Ba，b只有一個(gè)為0Ca，b至多有一個(gè)為0 Da，b兩個(gè)都為0解析：“至少有一個(gè)”的反設(shè)是“一個(gè)也沒有”，故應(yīng)假設(shè)a，b沒有一個(gè)為0.答案：A 3用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟： A B C9090 C180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角假設(shè)ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè) A90， B90.上述步驟的正確順序?yàn)開解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為.答案： 4已知abc0，求證：abbcca0.證明：假設(shè)abbcca0，因?yàn)閍2b2c20，則(a2b2c2)2(abbcca)0.所以(abc)20，即abc0，這與abc0矛盾，所以假設(shè)不成立，故abbcca0. 合作探究課堂互動(dòng) 用反證法證明否(肯)定式命題平面上有四個(gè)點(diǎn)，假設(shè)無三點(diǎn)共線，證明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形 1.結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法2用反證法證明問題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾(3)從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 1用反證法證明：鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長(zhǎng)的一半 “至多”、“至少”型命題已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb確定的三條拋物線中至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 2分由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0. 5分 同向不等式求和得：4b24c24a24ac4ab4bc0 7分2a22b22c22ab2bc2ac0 8分(ab)2(bc)2(ac)20 9分abc 10分這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證. 12分 1.當(dāng)命題出現(xiàn)“至多”“至少”等形式時(shí)，適合用反證法2常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒有(不存在)至少有兩個(gè)至多有n1個(gè)至少有n1個(gè) 原結(jié)論詞只有一個(gè)對(duì)所有x成立對(duì)任意x不成立反設(shè)詞沒有或至少有兩個(gè)存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立原結(jié)論詞都是是p或q p且q反設(shè)詞不都是不是綈 p且綈 q 綈 p或綈 q 用反證法證明唯一性問題已知a與b是異面直線求證：過a且平行于b的平面只有一個(gè) 思路點(diǎn)撥這是一個(gè)唯一性問題，直接證明較困難，宜用反證法 如圖，假設(shè)過直線a且平行于直線b的平面有兩個(gè)，分別為和，在直線a上取點(diǎn)A，過b和A確定一個(gè)平面，且與，分別交于過點(diǎn)A的直線c，d，由b，知bc，同理bd，故cd，這與c，d相交于點(diǎn)A矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立 用反證法證明唯一性命題的適用類型：(1)當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，所以用反證法證明唯一性就非常簡(jiǎn)單明了(2)用反證法證題時(shí)，一定要處理好推出矛盾這一步驟，因?yàn)榉醋C法的核心就是從求證的結(jié)論反面出發(fā)，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，因此如何導(dǎo)出矛盾，就成為了關(guān)鍵所在，對(duì)于證題步驟，絕不可死記，而要具有全面扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用特別提醒：證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)問題，即存在性問題和唯一性問題 3已知兩條相交直線a，b，求證：直線a，b有且只有一個(gè)交點(diǎn)證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即有兩種可能：無交點(diǎn)；至少有兩個(gè)交點(diǎn)(1)若直線a，b無交點(diǎn)，那么ab或a，b是異面直線，與已知矛盾；(2)若直線a，b至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，這樣同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾綜上所述，兩條相交直線a，b有且只有一個(gè)交點(diǎn) 用反證法證明命題“a，b為整數(shù)，若ab不是偶數(shù)，則a，b都不是偶數(shù)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為_【錯(cuò)解】a，b不都是偶數(shù) 【錯(cuò)因】應(yīng)用反證法時(shí)，假設(shè)錯(cuò)誤a，b不都是偶數(shù)包括的情況有：a是偶數(shù)，b是奇數(shù)；a是奇數(shù)，b是偶數(shù)；a是奇數(shù)，b是奇數(shù)注意否定的結(jié)論是不是結(jié)論的對(duì)立面：“a，b都不是偶數(shù)”指“a，b都是奇數(shù)”，它的反面是“a，b不都是奇數(shù)”【正解】a，b不都是奇數(shù)