23數(shù)學(xué)歸納法 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題 下圖為多米諾骨牌：如何保證骨牌一一倒下？需要幾個(gè)步驟才能做到？ 提示(1)處理第一個(gè)問題；(相當(dāng)于推倒第一塊骨牌)(2)驗(yàn)證前一問題與后一問題有遞推關(guān)系(相當(dāng)于前牌推倒后牌) 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：1(歸納奠基)證明當(dāng)n取_ (n0 N*)時(shí)命題成立；2(歸納遞推)假設(shè) _時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立第一個(gè)值n0nk(kn0，k N*)nk1 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法可以用框圖表示為： 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用及注意事項(xiàng)(1)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍是證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題，探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等 (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意：數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明驗(yàn)證是證明的基礎(chǔ)，遞推是證明的關(guān)鍵，二者缺一不可；在證明nk1命題成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)的結(jié)論，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 1用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時(shí)，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為()A1B2C3 D4解析：邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n03.答案：C 答案：D 3用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時(shí)，當(dāng)nk時(shí)，表達(dá)式為1427k(3k1)k(k1)2，則當(dāng)nk1時(shí)，表達(dá)式為_.解析：當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)將表達(dá)式1427k(3k1)k(k1)2中的k更換為k1.答案：1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2 4用數(shù)學(xué)歸納法證明：159(4n3)(2n1)n.證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，命題成立假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，命題成立，即159(4k3)k(2k1)則當(dāng)nk1時(shí)，左邊159(4k3)(4k1)k(2k1)(4k1)2k23k1(2k1)(k1)2(k1)1(k1)右邊，當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由知，對(duì)一切nN *，命題成立 合作探究 課堂互動(dòng) 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式 思路點(diǎn)撥 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時(shí)，等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng) 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成(k1)個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析在實(shí)在分析不出來的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧 歸納猜想證明 “觀察歸納猜想證明”模式的題目的解法(1)觀察：由已知條件寫出前幾項(xiàng)；(2)歸納：找出前幾項(xiàng)的規(guī)律，找到項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系；(3)猜想：猜想出通項(xiàng)公式；(4)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的形式，因?yàn)椴孪氩灰欢ㄕ_，所以要通過數(shù)學(xué)歸納法給出證明 3數(shù)列 a n 的前n項(xiàng)和為S n，滿足2 S nan，an0(n N*)，(1)求a1，a2，a3的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想解析：(1)由2Snan得當(dāng)n1時(shí)，2a1a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，2S2a2，a22.當(dāng)n3時(shí)，2S 3a3，a33.猜想：數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann. 【錯(cuò)因】沒有利用歸納假設(shè)進(jìn)行證明第(2)步，不可以直接利用等比數(shù)列的求和公式求出當(dāng)nk1時(shí)式子的和，在證明nk1時(shí)，一定要利用“歸納假設(shè)”