第 二 章 柯 西 不 等 式 與 排 序 不 等 式 及 其 應(yīng) 用 2.1 柯 西 不 等 式 2.1.1 平 面 上 的 柯 西 不 等 式 的 代 數(shù) 和 向 量 形 式 1.認(rèn)識二維形式的柯西不等式.2.理解二維形式的柯西不等式的幾何意義.3.會利用二維形式的柯西不等式進行簡單問題的證明. 1.二 維 形 式 的 柯 西 不 等 式定理1(柯西不等式的代數(shù)形式)設(shè)a1,a2,b1,b2均為實數(shù),則定理2(柯西不等式的向量形式)設(shè),為平面上的兩個向量,則|.當(dāng)及為非零向量時,上式中等號成立向量與共線(平行)存在實數(shù)0,使得=.當(dāng)或為零向量時,規(guī)定零向量和任何向量平行,如,中至少有一個是零向量,則規(guī)定=0,上面的結(jié)果仍然正確. 【 做 一 做 1-1】 若a,b R,且a2+b2=10,則a-b的取值范圍是()解 析 : (a2+b2)12+(-1)2(a-b)2,a2+b2=10, (a-b)220.答 案 :A 【 做 一 做 1-2】 已知p,q (0,+),且p3+q3=2,則p+q的最大值為() 答 案 :A 2.定 理 4(平 面 三 角 不 等 式 ) 3.定 理 5(平 面 三 角 不 等 式 的 向 量 形 式 )設(shè),為平面向量,則|-|+|-|-|.當(dāng)-,-為非零向量時,上面不等式中等號成立存在非負常數(shù),使得-=(-)向量-與-同向,即夾角為零.名 師 點 撥定理4與定理5是同一定理的不同表示形式,它們都可以看作是定理3的變式. 【 做 一 做 2】 已知,為空間向量,求證:|-|+|-|-|.分 析 :參照平面三角不等式的向量形式的證明方法進行證明即可.證 明 :設(shè)=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),則-=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),-=(b1-c1,b2-c2,b3-c3),-=(c1-a1,c2-a2,c3-a3), |-|+|-|-|,且等號成立存在非負常數(shù),使得-=(-). 如 何 理 解 柯 西 不 等 式 ?剖 析 :柯西不等式的幾種形式都需要對其結(jié)構(gòu)進行理解與記憶,因此,柯西不等式可以理解為有四個順序的數(shù)來對應(yīng)的一種不等關(guān)系或構(gòu)造成一個不等式,如基本不等式是由兩個數(shù)來構(gòu)造,但怎樣構(gòu)造要仔細體會.例如:結(jié)合具體問題靈活地應(yīng)用柯西不等式. 題型一 題型二 題型三 題型四利 用 柯 西 不 等 式 的 代 數(shù) 形 式 證 明 不 等 式【 例 1】 設(shè)a,b (0,+),且a+b=2. 題型一 題型二 題型三 題型四反 思利用柯西不等式證明某些不等式時,有時需要將數(shù)學(xué)表達式適當(dāng)?shù)刈冃?這種變形往往要求具有很高的技巧,必須善于分析題 目的特征,根據(jù)題設(shè)條件,綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),找到突破口. 題型一 題型二 題型四題型三利 用 柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式 證 明 不 等 式【 例 2】 已知a,b (0,+),且a+b=1.求證:(ax+by)2ax2+by2.分 析 :利用柯西不等式的向量形式.當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)0,使得m=n時等號成立.故(ax+by) 2ax2+by2. 題型一 題型二 題型三 題型四利 用 柯 西 不 等 式 解 決 實 際 問 題【 例 3】 在半徑為R的圓內(nèi),求周長最大的內(nèi)接長方形.分 析 :首先表示出長方形的周長,得出目標(biāo)函數(shù),再利用柯西不等式求解. 題型一 題型二 題型三 題型四反 思當(dāng)函數(shù)的解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解. 題型一 題型二 題型三 題型四 易 錯 辨 析易 錯 點 :應(yīng) 用 柯 西 不 等 式 時 ,因 不 注 重 等 號 是 否 成 立 ,從 而 導(dǎo) 致 結(jié) 果錯 誤 . 1 2 3 4 5A.a2+b2 B.2abC.(a+b)2D.4ab答 案 :C 1 2 3 4 52已知a+b=1,則a2+b2的最小值為() 答 案 :C 1 2 3 4 53若3x+4y=2,則x2+y2的最小值為() 答 案 :D 1 2 3 4 5 1 2 3 4 55設(shè)實數(shù)x,y滿足3x2+2y26,則p=2x+y的最大值是.