2.2 排 序 不 等 式 1.了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景.2.了解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理.3.理解排序不等式的簡單應(yīng)用. 1.排 序 不 等 式定義:設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實數(shù),c1,c2,cn為b1,b2,bn的任一排列,稱a1b1+a2b2+anbn為這兩個實數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和),稱a1bn+a2bn-1+anb1為這兩個實數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和),稱a1c1+a2c2+ancn為這兩個實數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和).定理(排序原理,又稱為排序不等式)設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實數(shù),c1,c2,cn為b1,b2,bn的任一排列,則有a 1bn+a2bn-1+anb1a1c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn,等號成立(反序和等于順序和)a1=a2=an或b1=b2=bn.排序原理可簡記作:反序和亂序和順序和. 名 師 點 撥 (1)排序原理是對不同的兩個數(shù)組來研究不同的乘積和的問題,能構(gòu)造的和按數(shù)組中的某種“搭配”的順序被分為三種形式:順序和、反序和、亂序和,對這三種不同的搭配形式只需注重是怎樣的“次序”,兩種較為簡單的是“順與反”,而亂序和也就是不按“常理”的順序了.對于排序原理的記憶,我們只需記住用特殊例子的方法來說大小關(guān)系.(2)學(xué)習排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義:兩實數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增加或同時減少)時所得兩兩乘積之和最大,反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小,注意等號成立的條件是其中一序列為常數(shù)序列. 【 做 一 做 1-1】 已知兩組數(shù)a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,將bi(i=1,2,3,4,5)重新排列記為c1,c2,c3,c4,c5,則a1c1+a2c2+a5c5的最大值和最小值分別是()A.132,6 B.304,212C.22,6 D.21,36解 析 :由排序不等式可知,最大值應(yīng)為a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,最小值為a 1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.答 案 :B 【 做 一 做 1-2】 設(shè)a1,a2,a3 (0,+),且a1,a2,a3的任一排列為 A.3 B.6 C.9 D.12 答 案 :A 2.切 比 曉 夫 不 等 式設(shè)a1,a2,an;b1,b2,bn為任意兩組實數(shù),上述兩式中等號當且僅當a 1=a2=an或b1=b2=bn時成立. 【 做 一 做 2】 已知a1,a2,a3;b1,b2,b3 R,且a1a2a3,b1b2b3,則3(a1b1+a2b2+a3b3)(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(填“,0,因此可以直接構(gòu)造兩個數(shù)組證明.反 思可以直接利用ab0這一條件構(gòu)造兩個數(shù)組,用排序不等式 證明. 題型一 題型二 題型四題型三需 對 所 證 不 等 式 中 所 給 的 字 母 順 序 作 出 假 設(shè) 的 情 況 題型一 題型二 題型四題型三反 思利用排序原理解答相關(guān)問題,必須構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)組,并且要排列出大小順序,因此比較出數(shù)組中各數(shù)間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 題型一 題型二 題型三 題型四對 所 證 不 等 式 中 字 母 的 大 小 順 序 需 要 加 以 討 論【 例 3】 若x0,求證:1+x+x2+x2n(2n+1)xn.分 析 :題目中只給出了x0,但對于x1,x1沒有明確,因而需要進行分類討論.證 明 :(1)當x1時,1xx2xn,由排序原理:順序和反序和,得11+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn-1+xn-1x+xn1,即1+x2+x4+x2n(n+1)xn.因為x,x2,xn,1為序列1,x,x2,xn的一個排列,所以再次由排序原理:亂序和反序和,得1x+xx 2+xn-1xn+xn11xn+xxn-1+xn-1x+xn1,得x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn.將和相加,得1+x+x2+x2n(2n+1)xn. 題型一 題型二 題型三 題型四(2)當0 xxx2xn,但仍然成立,于是也成立.綜合(1)(2),可知1+x+x2+xn(2n+1)xn.反 思在沒有給定字母大小的情況下,要使用排序不等式,必須限定字母的大小順序,而只有具有對稱性的式子才可以直接限定字母的大小順序,否則要根據(jù)具體情況分類討論. 題型一 題型二 題型三 題型四 易 錯 辨 析易 錯 點 :應(yīng) 用 排 序 不 等 式 時 ,因 忽 視 等 號 成 立 的 條 件 致 錯 .【 例 4】 已知a1,a2,a3,b1,b2,b3 1,2,且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,試求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范圍.錯 解 :不妨設(shè)1a1a2a32,c1,c2,c3為b1,b2,b3的一個排列,且1c1c2c32,則a 1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3, 3a1b1+a2b2+a3b312. a1b1+a2b2+a3b3的取值范圍為3,12.錯 因 分 析 :由于a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3也不全相等,故排序不等式中的等號不成立. 題型一 題型二 題型三 題型四正 解 :(以上解答同錯解中的過程) 3a1b1+a2b2+a3b312.又 a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3不全相等,等號不成立. a 1b1+a2b2+a3b3的取值范圍為(3,12). 1 2 31設(shè)a,b (0,+),P=a3+b3,Q=a2b+ab2,則P與Q之間的大小關(guān)系是()A.PQ B.PQC.PQ D.PQ答 案 :B 1 2 32設(shè)a1,a2,an都是正數(shù),b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,則 答 案 :B 1 2 33車間里有5臺機床同時出了故障,從第1臺到第5臺的修復(fù)時間依次為4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,每臺機床停產(chǎn)1 min損失5元,如果一次只能修理1臺機床,則經(jīng)合理安排損失最少為()元.A.420 B.400C.450 D.570解 析 :利用排序原理求得5臺機床修復(fù)時間最少為84 min,所以最少損失為845=420元.答 案 :A