2.3 平 均 值 不 等 式 (選 學(xué) ) 1.了解算術(shù)平均,幾何平均,調(diào)和平均的概念.2.理解定理的意義及作用,了解定理的推證過程.3.能夠靈活應(yīng)用定理證明求解一些簡單問題. 1.有 關(guān) 概 念 2.定 理定理1(算術(shù)幾何平均值不等式,簡稱平均值不等式)(2)推論1:設(shè)a 1,a2,an為n個(gè)正數(shù),且a1a2an=1,則a1+a2+ann,且等號(hào)成立a1=a2=an=1.(3)推論2:設(shè)C為常數(shù),且a1,a2,an為n個(gè)正數(shù),則當(dāng)a1+a2+an=nC時(shí),a1a2anCn,且等號(hào)成立a1=a2=an. 定理2 定理3 加權(quán)平均不等式 【 做 一 做 1】 下列命題是假命題的是() 答 案 :A 【 做 一 做 2】 已知x,y,z (0,+),且2x+3y+5z=6,則xyz的最大值為. 平 均 值 不 等 式 的 應(yīng) 用 條 件 是 什 么 ?剖 析 :“一正”:不論是三個(gè)數(shù)的或者n個(gè)數(shù)的平均值不等式,都要求這三個(gè)數(shù)或者n個(gè)數(shù)都是正數(shù),否則不等式是不成立的;“二定”:包含兩類求最值問題,一是已知n個(gè)正數(shù)的和為定值(即a1+a2+an為定值),求其積a1a2an的最大值,二是已知乘積a1a2an為定值,求其和a1+a2+an的最小值;“三相等”:取等號(hào)的條件是a1=a2=an,不能只有其中一部分相等. 題型一 題型二 題型三 題型四利 用 平 均 值 不 等 式 證 明 不 等 式 分 析 :觀察求證式子的結(jié)構(gòu),通過變形轉(zhuǎn)化為用平均值不等式證明. 題型一 題型二 題型三 題型四反 思不等式的證明方法較多,關(guān)鍵是從式子的結(jié)構(gòu)入手進(jìn)行分析, 找到證明不等式的突破口,使其出現(xiàn)平均值不等式的形式. 題型一 題型二 題型四題型三 利 用 平 均 值 不 等 式 求 最 值 分 析 :對(duì)于x2(1-5x),視x2與1-5x為兩項(xiàng),其和不可能為定值,應(yīng)把x2拆為兩項(xiàng)x,x,故x,x,(1-5x)這三項(xiàng)同時(shí)配系數(shù)才能使和為定值. 題型一 題型二 題型四題型三反 思本題采用的方法是拆項(xiàng),把x2變?yōu)閤,x,再配系數(shù)的方法,請(qǐng)思考采用下面的變形錯(cuò)在什么地方? 題型一 題型二 題型三 題型四平 均 值 不 等 式 的 應(yīng) 用【 例 3】 某同學(xué)在電腦城組裝了一臺(tái)電腦,總費(fèi)用為3 600元.假定在電腦的使用過程中,維修費(fèi)平均為:第一年200元,第二年400元,第三年600元,依等差數(shù)列逐年遞增,問:這臺(tái)電腦使用多少年報(bào)廢最合算?分 析 :要求電腦使用多少年報(bào)廢最合算,實(shí)際上是求使用多少年的平均費(fèi)用最少,這種年平均費(fèi)用一般由兩部分組成:一部分是電腦成本的平均值,另一部分是電腦維修費(fèi)用的平均值.這樣,電腦的最值報(bào)廢年限,即:年平均消耗費(fèi)用=年均成本費(fèi)+年均維修費(fèi),電腦最佳報(bào)廢年限=年均消耗費(fèi)用最低的年限.因此,需建立年平均費(fèi)用y與使用年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式. 題型一 題型二 題型三 題型四所以當(dāng)x=6(年)時(shí),y有最小值,即這臺(tái)電腦使用6年報(bào)廢最合算. 題型一 題型二 題型三 題型四 易 錯(cuò) 辨 析易 錯(cuò) 點(diǎn) :忽 視 應(yīng) 用 平 均 值 不 等 式 求 最 值 應(yīng) 具 備 的 “一 正 、 二 定 、 三相 等 ”而 致 錯(cuò) . 題型一 題型二 題型三 題型四 1 2 3 41若x,y R,且xy0,x2y=2,則xy+x2的最小值是.答 案 :3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 44求證:在表面積一定的長方體中,以正方體的體積最大.證 明 :設(shè)長方體的三條相交于同一頂點(diǎn)的棱長分別為x,y,z,則長方體的體積為V=xyz,表面積A=2xy+2yz+2zx,根據(jù)平均值不等式,