第六章 不等式,第3節(jié) 一元二次不等式及其解法,1會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型 2通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系 3會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程度框圖,要點(diǎn)梳理 1一元二次不等式及標(biāo)準(zhǔn)形式 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式叫做一元二次不等式，其標(biāo)準(zhǔn)形式為ax2bxc0，ax2bxc0. 2一元二次不等式ax2bxc0(a0)的求解過程用程序框圖表示為,3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：,質(zhì)疑探究：以上解法是按照a0進(jìn)行的，若a0情況應(yīng)該如何處理？ 提示：若a0，則可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使x2的系數(shù)為正，但是一定要注意在轉(zhuǎn)化過程中不等號的變化,解析 原不等式化為(x1)(x2)0，解得2x1，故原不等式的解集為(2,1) 答案 C,答案 C,如圖由“穿針引線法”，可解得：0x1或x1. ,答案 A,解析 由x2x120得(x3)(x4)0， x4或x3. 答案 (，43，),5已知不等式x22xk210對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_,拓展提高 (1)分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 (2)在解含參數(shù)的不等式時，應(yīng)注意分類討論，其分類標(biāo)準(zhǔn)一般有三種：按二次項(xiàng)系數(shù)分為a0和a0(有時需分a0與a0，0，0時，按兩根的大小進(jìn)行分類,活學(xué)活用1 (1)不等式ax2bxc0的解集為x|20的解集為_ 解析 令f(x)ax2bxc，則f(x)ax2bxc，結(jié)合圖像，可得ax2bxc0的解集為x|3x2 答案 x|3x2,(2)解關(guān)于x的不等式ax222xax (aR),考向二 與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題 例2 (1)若不等式mx22x10恒成立，則m的取值范圍是_. (2)若關(guān)于x的不等式ax2x2a0的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 思路點(diǎn)撥 (1)首先對不等式中二次項(xiàng)系數(shù)m討論確定不等式類型然后求解；(2)題中條件等價于“關(guān)于x的不等式ax2x2a0恒成立”,活學(xué)活用2 (1)若關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. (2)若關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 解析 (1)由題意知a24a0， 解得4a0， 因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為4a0.,(2)由題意知關(guān)于x的一元二次方程x2axa30有解， 因此有(a)24(3a)a24a120， 所以a6或a2. 因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a6或a2. 答案 (1)(4,0) (2)(，62，),考向三 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3 某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為x (0x1)，則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(出廠價投入成本)×年銷售量 (1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；,(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 思路點(diǎn)撥 (1)依據(jù)“年利潤(出廠價投入成本)×年銷售量”寫出；(2)年利潤有所增加，即y(1210)×10 0000，解此不等式即可得x的范圍 解 (1)由題意得y12(10.75x)10(1x)×10 000×(10.6x) (0x1)， 整理得y6 000x22 000 x20 000(0x1),拓展提高 不等式應(yīng)用題常以函數(shù)、數(shù)列為背景出現(xiàn)，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題，在解題中主要涉及到不等式的解法等問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是解不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵 活學(xué)活用3 某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點(diǎn))，計劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個百分點(diǎn),(1)寫出降稅后稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍,思想方法13 數(shù)形結(jié)合思想在不等式問題中的應(yīng)用 典例 若x0時，均有(a1)x1(x2ax1)0，則a_. 審題視角 當(dāng)a1時，(a1)x10恒成立，而當(dāng)a1時，f(x)(a1)x1與g(x)x2ax1均過點(diǎn)(0，1)，故可用數(shù)形結(jié)合思想解題,解析 (1)當(dāng)a1時，對x0， 恒有(a1)x10， 恒有x2ax10，(*) 由于二次函數(shù)yx2ax1的圖像開口向上， (*)式不恒成立， 即a1時，原不等式不會恒成立 (2)當(dāng)a1時，令f(x)(a1)x1，g(x)x2ax1，兩函數(shù)圖像都過定點(diǎn)P(0，1),方法點(diǎn)睛 (1)對于常規(guī)方法不易解決的不等式問題，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法解決； (2)解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：找到參數(shù)a分類討論的標(biāo)準(zhǔn)；將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像間的關(guān)系問題，借助函數(shù)圖像特征，找到兩函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系,答案 D,思維升華 【方法與技巧】,1“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a(bǔ)0時的情形 2f(x)0的解集即為函數(shù)yf(x)的圖像在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，充分利用數(shù)形結(jié)合思想 3簡單的分式不等式可以等價轉(zhuǎn)化，利用一元二次不等式解法進(jìn)行求解,【失誤與防范】,1對于不等式ax2bxc0，求解時不要忘記討論a0時的情形 2當(dāng)0 (a0)的解集為R還是，要注意區(qū)別 3含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論,