第十一章 復數(shù)、算法、推理與證明,第1節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入,1理解復數(shù)的基本概念 2理解復數(shù)相等的充要條件 3了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 4會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 5了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義,要點梳理 1復數(shù)的有關(guān)概念 (1)復數(shù)的定義 形如abi(a、bR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中實部是a，虛部是b(i是虛數(shù)單位). (2)復數(shù)的分類,2復數(shù)的幾何意義 (1)復平面的概念 建立_來表示復數(shù)的平面叫做復平面 (2)實軸、虛軸 在復平面內(nèi)，x軸叫做_，y軸叫做_，實軸上的點都表示_；除原點以外，虛軸上的點都表示_ (3)復數(shù)的幾何表示,直角坐標系,實軸,虛軸,實數(shù),純虛數(shù),3復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 (1)運算法則： 設(shè)z1abi，z2cdi (a，b，c，dR)，則,(a±c)(b±d)i,(acbd)(adbc)i,(2)復數(shù)加法的運算律： 設(shè)z1，z2，z3C，則復數(shù)加法滿足以下運算律： 交換律：z1z2z2z1； 結(jié)合律：(z1z2)z3z1(z2z3),質(zhì)疑探究1z1、z2為復數(shù)，z1z20，那么z1z2，這個命題是真命題嗎？ 提示：假命題例如：z11i，z22i，z1z230. 但z1z2無意義，因為虛數(shù)無大小概念,基礎(chǔ)自測 1(2014·重慶高考)復平面內(nèi)表示復數(shù)i(12i)的點位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 復數(shù)i (12i)2i，在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是(2,1)，位于第一象限 答案 A,2設(shè)a，bR.“a0”是“復數(shù)abi是純虛數(shù)”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 解析 當a0，且b0時，abi不是純虛數(shù)；若abi是純虛數(shù)，則a0.故“a0”是“復數(shù)abi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件. 答案 B,答案 D,4(2014·北京高考)若(xi) i12i (xR)，則x_. 解析 (xi) i1xi12i，x2. 答案 2,5給出下列結(jié)論： 任何數(shù)的平方都不小于0. 已知zabi (a，bR)，當a0時復數(shù)z為純虛數(shù) 兩個虛數(shù)的和還是虛數(shù) 復數(shù)的模就是復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)向量的模 其中真命題是_(寫出所有真命題的序號) 解析 錯誤，純虛數(shù)的平方小于0，如(2i)240； 錯誤，當a0，且b0時，z0是實數(shù)； 錯誤，例如，2i與2i是兩個虛數(shù)，其和為4是實數(shù)； 正確，由復數(shù)的幾何意義知該結(jié)論正確 答案 ,典例透析,(2)(2015·南陽模擬)已知復數(shù)z(a21)(a1) i(aR)是純虛數(shù)，則a( ) A0 B1 C1 D±1 思路點撥 把條件化簡，將所求復數(shù)寫成abi，再求解相應(yīng)問題,答案 (1)D (2)C,拓展提高 求解與復數(shù)概念相關(guān)問題的技巧 復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模，共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部與虛部有關(guān)，所以解答與復數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即abi(a，bR)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解,答案 B,答案 (1)C (2)D,拓展提高 (1)復數(shù)的代數(shù)運算技巧 復數(shù)的四則運算類似于多項式的四則運算，此時含有虛數(shù)單位i的看作一類，不含i的看作另一類，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式，在運算過程中，要熟悉i的特點及熟練應(yīng)用運算技巧 (2)一般先乘方、再乘除、最后為加減，有括號者可先算括號里面的 (3)幾個常用結(jié)論 在進行復數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結(jié)論，可提高計算速度,思路點撥 (1)由對稱性先求出z2.(2)把復數(shù)化簡為abi，找出對應(yīng)點的坐標(a，b),活學活用3 (1)(2013·四川高考)如圖，在復平面內(nèi)，點A表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是( ) AA BB CC DD,答案 (1)B (2)(1,1),思想方法22 復數(shù)代數(shù)運算的轉(zhuǎn)化方法 典例 (2013·廣東高考)若i(xyi)34i，x，yR，則復數(shù)xyi的模是( ) A2 B3 C4 D5 審題視角 弄清題目條件、解題目標 題目條件 已知復數(shù)相等，其中含有x，yR.,解題目標 計算|xyi|. 關(guān)系轉(zhuǎn)化： ()根據(jù)復數(shù)相等，視xyi為一個數(shù)，直接求xyi，再化簡 ()根據(jù)模的性質(zhì)直接求 ()利用復數(shù)相等分別求x，y，再求模,答案 A,思維升華 【方法與技巧】,【失誤與防范】,1判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義 2對于復系數(shù)(系數(shù)不全為實數(shù))的一元二次方程的求解，判別式不再成立因此解此類方程的解，一般都是將實根代入方程，用復數(shù)相等的條件進行求解 3兩個虛數(shù)不能比較大小,4利用復數(shù)相等abicdi列方程時，注意a，b，c，dR的前提條件 5z20在復數(shù)范圍內(nèi)有可能成立，例如：當z3i時z290.,