第十一章 復數(shù)、算法、推理與證明,第3節(jié) 合情推理與演繹推理,1了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理，體會合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用 2了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運用“三段論”進行一些簡單推理 3了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異,要點梳理 1合情推理,全部對象都具有這些特征,一般結論,部分,整體,個別,一般,某些已知特征,特殊,特殊,歸納,類比,2演繹推理 (1)定義：從_出發(fā)，推出_下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理； (2)特點：演繹推理是由_的推理； (3)模式：三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：,一般性的原理,某個特殊情況,一般到特殊,一般原理,特殊情況,M是P,S是M,質(zhì)疑探究：演繹推理所獲得的結論一定可靠嗎？ 提示：不一定，只有前提是正確的，推理形式是正確的，結論才一定是真實的，錯誤的前提則可能導致錯誤的結論,基礎自測 1(2015·合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理( ) A結論正確 B大前提不正確 C小前提不正確 D全不正確 解析 因為f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確 答案 C,2給出下列三個類比結論 (ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn； loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sin sin ； (ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22a·bb2. 其中結論正確的個數(shù)是( ) A0 B1 C2 D3 解析 只有正確 答案 B,3觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于( ) A28 B76 C123 D199 解析 觀察規(guī)律，歸納推理 從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123. 答案 C,根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當nN*且n2時，fn(x)f(fn1(x)_.,典例透析 考向一 歸納推理 例1 (1)(2013·陜西高考)觀察下列等式： 121， 12223， 1222326， 1222324210， 照此規(guī)律，第n個等式可為_,思路點撥 (1)觀察等式的左右兩側各自的特點歸納可解 (2)總結點的變化規(guī)律，再看直線和曲線的變化規(guī)律，寫出此(語言)命題相似的內(nèi)容,拓展提高 本題實質(zhì)是根據(jù)前幾項，歸納猜想一般規(guī)律，歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法,思路點撥 (1)由平面性質(zhì)：S1與S2之比為對應半徑之比可類比得正四面體中V1與V2之比為對應體積之比，正四面體中求得外接球與內(nèi)切球半徑即可(2)把橢圓性質(zhì)和雙曲線性質(zhì)類比結合解三角形推導結論,拓展提高 (1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為 找出兩類事物之間的相似性或一致性； 用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想) (2)類比推理的關鍵是找到合適的類比對象平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結論,拓展提高 (1)演繹推理的結構 演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結論三部分組成的三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況這兩個判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷：結論 (2)演繹推理的理論依據(jù) 其推理的依據(jù)用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.,誤區(qū)警示 歸納不準確致誤 典例 如圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列an(nN*)的前12項，如下表所示,按如此規(guī)律下去，則a2 013a2 014a2 015等于( ) A1 004 B1 007 C1 011 D2 014 解析 a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，這個數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項為1，1,2，2,3，偶數(shù)項為1,2,3，故a2 013a2 0150，a2 0141 007，故a2 013a2 014a2 0151 007. 答案 B,易錯分析 本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個點的坐標和數(shù)列的對應關系，歸納出該數(shù)列的一般關系可能出現(xiàn)的錯誤有兩種：一是歸納時找不準“前幾項”的規(guī)律，胡亂猜測；二是弄錯奇偶項的關系本題中各個點的縱坐標對應數(shù)列的偶數(shù)項，并且逐一遞增，即a2nn(nN*)，各個點的橫坐標對應數(shù)列的奇數(shù)項，正負交替后逐一遞增，并且滿足a4n3a4n10(nN*)，如果弄錯這些關系就會得到錯誤的結果，如認為當n為偶數(shù)時ann，就會得到a2 013a2 014a2 0152 014的錯誤結論，而選D.,防范措施 由歸納推理得到的結論具有猜測的性質(zhì)，結論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗因此，它不能作為數(shù)學證明的工具,正方形數(shù) N(n,4)n2， 五邊形數(shù) N(n,5)n2n， 六邊形數(shù) N(n,6)2n2n， 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)_.,答案 1000,思維升華 【方法與技巧】,【失誤與防范】,1合情推理是從已知的結論推測未知的結論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結論都要經(jīng)過進一步嚴格證明 2演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性 3合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù),