第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明,第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題,要點(diǎn)梳理 數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0N*)時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，kn0)時(shí)命題成立，推出當(dāng)_時(shí)命題也成立,nk1,只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 質(zhì)疑探究：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 (1)第一步中， 驗(yàn)算nn0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2或3等 (2)第二步中，證明nk1時(shí)命題成立的過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧,解析 觀察等式左邊的特征易知選C. 答案 C,解析 從n到n2共有n2n1個(gè)數(shù)， 所以f(n)中共有n2n1項(xiàng). 答案 D,4凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k1)f(k)_. 解析 易得f(k1)f(k). 答案 ,典例透析,所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立 綜合(1)(2)知對(duì)一切nN* ，等式都成立 拓展提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題是常見(jiàn)題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾； (2)由nk到nk1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用nk時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫(xiě)出歸納證明的步驟，從而使問(wèn)題得以證明,思路點(diǎn)撥 利用假設(shè)后，要注意不等式的放大和縮小,拓展提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類(lèi)形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開(kāi)始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)成立得nk1時(shí)成立，主要方法有放縮法；利用均值不等式法；作差比較法等,考向三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題 例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n13n2能被13整除，其中n為正整數(shù) 思路點(diǎn)撥 當(dāng)nk1時(shí)，把42(k1)13k3配湊成42k13k2的形式是解題的關(guān)鍵,拓展提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，P(k)P(k1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”,活學(xué)活用3 已知n為正整數(shù)，aZ，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an1(a1)2n1能被a2a1整除 證明 (1)當(dāng)n1時(shí)，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除 (2)假設(shè)nk時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么當(dāng)nk1時(shí)， ak2(a1)2k1 (a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2,思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵是搞清nk到nk1時(shí)對(duì)角線增加的條數(shù)，看頂點(diǎn)的變化可知對(duì)角線的變化從而可解,拓展提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析；事實(shí)上，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的一大技巧. 活學(xué)活用4 平面上有n個(gè)圓，每?jī)蓤A交于兩點(diǎn)，每三圓不過(guò)同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓分平面為n2n2個(gè)部分,審題視角 (1)將n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)利用分析法，結(jié)合x(chóng)0，y0，xy1，利用基本不等式可證,【答題模板】 第1步：尋找特例a1，a2，a3等 第2步：猜想an的公式 第3步：轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an1的關(guān)系 第4步：用數(shù)學(xué)歸納法證明an. 驗(yàn)證遞推公式中的第一個(gè)自然數(shù)n2. 推證ak1的表達(dá)式為k1. 補(bǔ)驗(yàn)n1，說(shuō)明對(duì)于nN*成立 第5步：分析法證明,提醒：(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性 (2)為了正確地猜想an，首先準(zhǔn)確求出a1，a2，a3的值,思維升華 【方法與技巧】,1數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存，缺一不可 有一無(wú)二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無(wú)一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ) 2歸納假設(shè)的作用 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，對(duì)于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn)：,(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證nk1時(shí)，必須用上歸納假設(shè) 3利用歸納假設(shè)的技巧 在推證nk1時(shí)，可以通過(guò)湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè)此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系在推證時(shí)，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用,【失誤與防范】,1數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1； 2推證nk1時(shí)一定要用上nk時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法,