第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布,第7節(jié) 二項分布與正態(tài)分布,1了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念 2理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布 3借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 4能解決一些簡單的實際問題,要點梳理 1條件概率及其性質(zhì),事件A,事件B,P(B|A)P(C|A),P(A)P(B),質(zhì)疑探究1：“相互獨立”和“事件互斥”有何不同？ 提示：(1)兩事件互斥是指在一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生；而相互獨立是一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響 (2)若A、B獨立，則P(AB)P(A)·P(B)；若A、B互斥，則P(AB)P(A)P(B),3獨立重復(fù)試驗與二項分布 (1)獨立重復(fù)試驗 一般地，在_條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗,相同,(2)二項分布 一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，設(shè)在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)pk(1p)nk(k0,1,2，n) 此時稱隨機變量X服從二項分布，記作_，并稱_為成功概率,XB(n，p),p,質(zhì)疑探究2：獨立重復(fù)試驗的條件是什么？ 提示：(1)每次試驗都是在同樣的條件下進行的；(2)各次試驗中的條件是相互獨立的；(3)每次試驗都只有兩種結(jié)果；(4)在任何一次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等,4兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)_，D(X)_ (2)若XB(n，p)，則E(X)_，D(X)_,p(1p),np,p,np(1p),當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中； _，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖(2)所示,越小,越大,(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P( X )0.6826； P(2 X2)0.9544； P(3 X3)0.9974.,3已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，2)，P(X4)0.84，則P(X0)( ) A0.16 B0.32 C0.68 D0.84 解析 P(X4)0.84，2， P(X0)P(X4)10.840.16. 答案 A,4(2015·呼和浩特模擬)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，所得點數(shù)的樣本空間為S1,2,3,4,5,6，令事件A2,3,5，事件B1,2,4,5,6，則P(A|B)的值為_,5(2015·惠州調(diào)研)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則DX_.,典例透析,活學(xué)活用1 把第(1)題中的事件B：“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”改為“事件B：取到的2個數(shù)均為奇數(shù)”，則P(B|A)_.,拓展提高 (1)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；正面計算較繁瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算，即正難則反的思想方法； (2)已知兩個事件A、B相互獨立，它們的概率分別為P(A)、P(B)，則有,(1)求甲、乙、丙每臺機器在這個小時內(nèi)需要照顧的概率分別是多少？ (2)計算這個小時內(nèi)至少有一臺機器需要照顧的概率 解 記“機器甲需要照顧”為事件A，“機器乙需要照顧”為事件B，“機器丙需要照顧”為事件C.由題意，各臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響，因此，A，B，C是相互獨立事件 (1)由已知得P(AB)P(A)·P(B)0.05， P(AC)P(A)·P(C)0.1， P(BC)P(B)·P(C)0.125.,考向三 獨立重復(fù)試驗與二項分布 例3 (2014·高考遼寧卷)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示,將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立 (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X) 解 (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，,分布列為,因為XB(3,0.6)，所以期望E(X)3×0.61.8，方差D(X)3×0.6×(10.6)0.72.,拓展提高 二項分布滿足的條件： (1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的 (2)各次試驗中的事件是相互獨立的 (3)每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生 (4)隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù),(1)求一個試驗組為甲類組的概率； (2)觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)求的分布列和數(shù)學(xué)期望,考向四 正態(tài)分布 例4 已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(02)等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 思路點撥 正態(tài)曲線的對稱軸是x2，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及P(4)0.8，數(shù)形結(jié)合求解,解析 法一 P(4)0.8， P(4)0.2. 由題意知圖像的對稱軸為直線x2，P(0) P(4)0.2， P(04)1P(0)P(4)0.6.,答案 C,拓展提高 服從正態(tài)分布的隨機變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上正態(tài)曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，因此常利用圖形的對稱性求概率 活學(xué)活用4 已知隨機變量服從正態(tài)分布N(1，2)，且P(2)0.8，則P(01)等于( ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6,解析 N(1，2)，P(1)P(1)0.5. 又P(2)0.8，P(12)0.80.50.3， 由正態(tài)曲線的對稱性可知 P(01)P(12)0.3. 故選B. 答案 B,規(guī)范答題10 分布列與概率的綜合問題 典例 (12分)(2015·洛陽市統(tǒng)考)隨著建設(shè)資源節(jié)約型、環(huán)境友好型社會的宣傳與實踐，低碳綠色的出行方式越來越受到追捧，全國各地興起了建設(shè)公共自行車租賃系統(tǒng)的熱潮據(jù)不完全統(tǒng)計，已有北京、株洲、杭州、太原、蘇州、深圳等城市建成公共自行車租賃系統(tǒng)某市公共自行車實行60分鐘內(nèi)免費租用，60分鐘至120分鐘(含120分鐘)收取1元租車服務(wù)費，120分鐘至180分鐘(含180分鐘)收取2元租車服務(wù)費，180分鐘以上的時間按每小時3元計費(不足1小時的按1小時計)，,滿分展示,X的分布列為,【答題模板】 第1步：用獨立事件分別計算兩人都付0元，1元，3元，6元的概率 第2步：用互斥事件求概率之和 第3步：求甲每天所付車費不超過2元的概率 第4步：由重應(yīng)重復(fù)試驗分別計算四天中分別有0,1,2,3,4天的概率 第5步：寫分布列，計算期望值,思維升華 【方法與技巧】,4若B(n，p)，則Enp，Dnp(1p) 5關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)域內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(X)，P(2X2)， P(3X3)的值 (2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1. 正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，從而在關(guān)于x對稱的區(qū)間上概率相等,P(Xa)1P(Xa)，P(xa)P(Xa) (3)3原則：在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(，2)的隨機變量只取(3，3之間的值，取該區(qū)間外的值的概率很小，通常認(rèn)為一次試驗幾乎不可能發(fā)生,【失誤與防范】,1運用公式P(AB)P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B相互獨立時，公式才成立 2獨立重復(fù)試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中某事件發(fā)生的概率相等注意恰好與至多(少)的關(guān)系，靈活運用對立事件 3在實際問題中進行概率、百分比計算時，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個重要參數(shù)，求出，然后確定三個區(qū)間(范圍)：(，)，(2，2)，(3，3)與已知概率值進行聯(lián)系求解,