一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.已知集合，，則等于（ ） A. B. C. D. 2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.已知向量，，且，則（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 4.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染1個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)呈指數(shù)級增長.當(dāng)基本傳染數(shù)持續(xù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散.接種疫苗是預(yù)防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本傳染數(shù)，若1個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為，為了有效控制病毒傳染（使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1），我國疫苗的接種率至少為（ ） A.75% B.80% C.85% D.90% 5.設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則的最小值為（ ） A. B.5 C.9 D. 6.已知，，，則（ ） A. B. C. D. 7.已知克列爾公式：對任意四面體，其體積和外接球半徑滿足，其中，，，，，，分別為四面體的三組對棱的長.在四面體中，若，，則該四面體的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 8.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線：的準(zhǔn)線與圓：相切于點(diǎn)，直線與拋物線切于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。 9.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).為了建立茶水溫度隨時(shí)間變化的回歸模型，小明每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到若干組數(shù)據(jù)，，…，（其中，），繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.小明選擇了如下2個(gè)回歸模型來擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況，回歸模型一：；回歸模型二：，下列說法正確的是（ ） A.茶水溫度與時(shí)間這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān) B.由于水溫開始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況 C.若選擇回歸模型二，利用最小二乘法求得到的圖象一定經(jīng)過點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，通過回歸模型二計(jì)算得，用溫度計(jì)測得實(shí)際茶水溫度為65.2，則殘差為 10.下列命題正確的是（ ） A.如果一條直線上兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等，那么這個(gè)直線與這個(gè)平面平行 B.兩條平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長度相等 C.如果一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)銳角的兩邊，分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行 D.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直 11.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：的下、上焦點(diǎn)分別是，，漸近線方程為，為雙曲線上任意一點(diǎn)，平分，且，，則（ ） A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的方程為 C.若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，則 D.點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為 12.已知有三個(gè)不相等的零點(diǎn)，，，且，則下列命題正確的是（ ） A.存在實(shí)數(shù)，使得 B. C. D.為定值 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________. 14.甲、乙、丙3所學(xué)校每所學(xué)校各派出兩名同學(xué)，現(xiàn)從這六名同學(xué)中任取兩名，安排到甲、乙、丙3所學(xué)校交流。每所學(xué)校至多安排一名同學(xué)，每名同學(xué)只能去一所學(xué)校且不能去自己原先的學(xué)校，則不同的安排方法有________種. 15.在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為________. 16.我們稱元有序?qū)崝?shù)組為維向量，為該向量的范數(shù).已知維向量，其中，，記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則________.（用含的式子表示，） 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17.（10分） 已知函數(shù)，. （1）若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求的單調(diào)增區(qū)間； （2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值. 18.（12分） 已知整數(shù)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足.數(shù)列，前項(xiàng)和分別為，，其中. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）用表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和. 19.（12分） 某地的水果店老板記錄了過去50天某類水果的日需求量（單位：箱），整理得到數(shù)據(jù)如下表所示，已知每箱某類水果的進(jìn)貨價(jià)為50元，售價(jià)為100元，如果當(dāng)天賣不完，剩下的水果第二天將在售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折進(jìn)行特價(jià)銷售，但特價(jià)銷售需要運(yùn)營成本每箱30元.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)第二天特價(jià)水果都能售馨，并且不影響正價(jià)水果的銷售. 22 23 24 25 26 頻數(shù) 10 10 15 9 6 （1）一次進(jìn)貨太多，水果會(huì)變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求店長希望每天的某類水果盡量新鮮，又能70%地滿足顧客的需求（在100天中，大約有70天可以滿足顧客的需求）.請根據(jù)頻數(shù)分布表，估計(jì)每天某類水果的進(jìn)貨量箱.（結(jié)果保留一位小數(shù)） （2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率，設(shè)（1）中所求的值，如果店老板計(jì)劃每天購進(jìn)箱或箱的某類水果，請以利潤的期望作為決策依據(jù)，判斷店老板應(yīng)當(dāng)購進(jìn)的箱數(shù). 20.（12分） 如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積. 21.（12分） 已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，為橢圓上的一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑最大值為. （1）求橢圓的方程； （2）直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，的角平分線所在的直線與直線交于點(diǎn)，記直線的斜率為，試問是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由. 22.（12分） 已知函數(shù)，. （1）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得，求證：. 答案 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D B C C 二選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。 題號 9 10 11 12 答案 AB BC AD BCD 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.（寫成亦可） 14.42 15. 16. 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17.解：（1），……1分 因?yàn)楹瘮?shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為， 所以，則，所以，解得， 所以.………………………………3分 由，，解得 ， 因此的單調(diào)增區(qū)間是，.……………………5分 （2）由，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱， 所以，，所以，，…………………………7分 由，，則， 又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，…………………………9分 由解得，此時(shí).……………………………………10分 18.解：（1）當(dāng)時(shí)，.……………………………………………………1分 又因?yàn)?，所? 設(shè)，則.………………………………2分 依題意，，………………………………3分 得恒成立……………………………………4分 解得，…………………………………………5分 所以，.……………………………………………………6分 （2） …………………………① ……………………② ①-②，得……………………9分 即………………………………10分 時(shí)，，； 時(shí)，，， 所以.…………………………………………12分 19.解：（1）70%地滿足顧客需求相當(dāng)于估計(jì)某類水果日銷售量的70%分位數(shù).………………1分 由表可知，把50個(gè)日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列， 由，日需求量在24箱以下的天數(shù)為， 可知，可以估計(jì)日需求量的第70%分位數(shù)為，…………………………3分 所以能70%地滿足顧客的需求，估計(jì)每天應(yīng)該進(jìn)貨量為24.5箱.…………………………4分 （2）由（1）知，即 設(shè)每天的進(jìn)貨量為24箱的利潤為， 由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為24箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩余的概率，當(dāng)天賣不完剩余2箱的概率， 若當(dāng)天賣完元， 若當(dāng)天賣不完剩余1箱元， 若當(dāng)天賣不完剩余2箱元，……………………6分 所以元.………………………………7分 設(shè)每天的進(jìn)貨量為25箱的利潤為， 由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為25箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩余1箱的概率， 當(dāng)天賣不完剩余2箱的概率，當(dāng)天賣不完剩余3箱的概率， 若當(dāng)天賣完元， 當(dāng)天賣不完剩余1箱元， 當(dāng)天賣不完剩余2箱元， 當(dāng)天賣不完剩余3箱元，……………………9分 所以元，…………………………10分 由于， 顯然每天的進(jìn)貨量25箱的期望利潤小于每天的進(jìn)貨量為24箱的期望利潤， 所以店老板應(yīng)當(dāng)購進(jìn)24箱.…………………………………………………………12分 20.（1）證明：連接，在正方形中， 又平面，故 而，是平面上的兩條相交直線， 所以平面…………………………………………2分 在中，為中位線，故…………………………3分 所以平面. 又平面， 所以平面平面……………………………………5分 （2）以，，所在直線為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，， ，，………………………………7分 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，即， 取，……………………………………8分 設(shè)， 則 則， 整理得，解得或（舍去），…………………………10分 故，故到平面的距離， 故 因?yàn)?，所? 又，所以， 又，所以平面， 故到平面的距離為 三棱錐體積為.…………12分 21.解：（1）因?yàn)榈闹荛L等于為定值， 所以內(nèi)切圓半徑最大時(shí)，即的面積最大，此時(shí)點(diǎn)為橢圓的上（下）頂點(diǎn)………………1分 可得；……………………………………2分 又因?yàn)?，，解得，，，…………………?分 所以橢圓的方程為；……………………………………4分 （2）（法一）設(shè)點(diǎn) 由條件可知直線的斜率， 設(shè)點(diǎn)，， 由得： 所以，（*）………………………………5分 由（*）可得 ①…………………………6分 ②………………7分 ③…………………………8分 由對稱性，不妨令點(diǎn)位于第四象限， 設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為， 則，， 又在的角平分線所在的直線上，則 可得出……………………………………9分 化簡得 即 將①②③式代入上式得：…………………………10分 則，解得，（舍去）……………………11分 故直線方程為，令得點(diǎn) 則，故為定值.………………………………………………12分 【法二】設(shè)線 由條件可知直線的斜率， 設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為， 直線：，其中 由得 即 整理得…………………………6分 即 令，則，其中，為方程的根 所以，…………………………8分 由對稱性，不妨令點(diǎn)位于第四象限， 設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為， 則，， 又在的角平分線所在的直線上，則 由得……………………9分 代入整理得，………………………………10分 則 故（舍去）或者……………………………………………………11分 所以直線的方程為，令得點(diǎn) 故，則為定值.………………………………………………12分 22.解：（1）的定義域?yàn)?…………………………1分 .………………2分 ①時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，無零點(diǎn).…………………………3分 ②時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，且，時(shí)，均有. 當(dāng)即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)； 若即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)； 若即時(shí)，無零點(diǎn).…………………………4分 ③時(shí)，若，則或時(shí)，，均單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減.而，，，故有一個(gè)零點(diǎn). 若，則，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，故有一個(gè)零點(diǎn).