第2講空間中的平行與垂直專題五立體幾何 欄目索引 高考真題體驗(yàn)1 熱點(diǎn)分類突破2 高考押題精練3 高考真題體驗(yàn)1.(2016課標(biāo)全國(guó)甲)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果m n，m ，n ，那么 .如果m ，n ，那么m n.如果 ，m，那么m .如果m n， ，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有_.(填寫所有正確命題的編號(hào))解析當(dāng)m n，m ，n 時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為. 解析 2.(2016江蘇)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D A1F，A1C1 A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；證明由已知，DE為ABC的中位線， DE AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC A1C1， DE A1C1，且DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， DE平面A 1C1F.解析答案 (2)平面B1DE平面A1C1F.證明在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面A1B1C1， AA1 A1C1，又 A1B1 A1C1，且A1B1 AA1A1， A1C1平面ABB1A1， B1D平面ABB1A1， A1C1 B1D，又 A1F B1D，且A1F A1C1A1， B 1D平面A1C1F，又 B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.解析答案 考情考向分析 返回 1.以填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡(jiǎn)單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中等. 熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定熱點(diǎn)分類突破空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來解決問題；(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷. 例1(1)已知l是直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列命題中的真命題是_.(填所有真命題的序號(hào)) 若l ，l ，則 ；若 ，l ，則l ；若l ， ，則l ；若l ，l ，則 .解析若l ，l ，則l可平行兩平面的交線，所以為假命題；若 ，l ，則l可平行兩平面的交線，所以為假命題；若l ， ，則l可在平面內(nèi)，所以為假命題；若l ，l ，則l必平行平面內(nèi)一直線m，所以m ，因而 為真命題. 解析 (2)關(guān)于空間兩條直線a、b和平面，給出以下四個(gè)命題，其中正確的是_.若a b，b，則a ；若a ，b，則a b；若a ，b ，則a b；若a ，b ，則a b.解析線面平行的判定定理中的條件要求a，故錯(cuò)；對(duì)于線面平行，這條直線與面內(nèi)的直線的位置關(guān)系可以平行，也可以異面，故錯(cuò)；平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面都有可能，故錯(cuò)；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行的，故正確. 思維升華 解析 思維升華解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中. 跟蹤演練1設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m n，m ，則n ；若m ，m ，則 ；若m n，m ，則n ；若m ，m ，則 .其中真命題的個(gè)數(shù)為_.2 答案解析 解析因?yàn)椤叭绻麅蓷l平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面”，所以正確；當(dāng)m平行于兩個(gè)相交平面，的交線l時(shí)，也有m ，m ，所以錯(cuò)誤；若m n，m ，則n 或n，所以錯(cuò)誤；平面，與直線m的關(guān)系如圖所示，必有 ，故正確. 熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.面面平行的判定 例2如圖，已知PA O所在的平面，AB是 O的直徑，AB2，點(diǎn)C是 O上一點(diǎn)，且ACBC， PCA45，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段PA上(除點(diǎn)P外)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求證：BC平面GEF；證明點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)， EF CB. EF平面GEF，點(diǎn)G不與點(diǎn)P重合，CB平面GEF， BC平面GEF. 解析答案 (2)求證：BC GE；證明 PA O所在的平面，BC O所在的平面， BC PA.又 AB是 O的直徑， BC AC. PA ACA，AC面PAC，PA面PAC， BC平面PAC. GE平面PAC， BC GE. 解析答案 (3)求三棱錐BPAC的體積.解在RtABC中，AB2，ACBC， PA平面ABC，AC平面ABC， PA AC. 解析答案思維升華 思維升華垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l ，al a. 跟蹤演練2如圖，在四棱錐PABCD中，AD BC，且BC2AD，AD CD，PB CD，點(diǎn)E在棱PD上，且PE2ED.(1)求證：平面PCD平面PBC；證明因?yàn)锳D CD，AD BC，所以CD BC，又PB CD，PB BCB，PB平面PBC，BC平面PBC，所以CD平面PBC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PBC. 解析答案 (2)求證：PB平面AEC.證明連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE.因?yàn)锳D BC，所以ADOCBO，所以DO OBAD BC1 2，又PE2ED，所以O(shè)E PB，又OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC. 解析答案 熱點(diǎn)三平面圖形的折疊問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法. 證明點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CE的中點(diǎn)， BD EF.菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直， BD AC. EF AC. EF AO，EF PO， AO平面POA，PO平面POA，AO POO， EF平面POA， BD平面POA，又PA平面POA， BD PA.(1)求證：BD PA； 解析答案 (2)求四棱錐PBFED的體積.解設(shè)AO BDH.連結(jié)BO， DAB60，ABD為等邊三角形，在PBO中，BO2PO210PB2， PO BO. PO EF，EF BOO，EF平面BFED，BO平面BFED， PO平面BFED， 解析答案思維升華 思維升華(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口；(2)存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾或肯定結(jié)論. 跟蹤演練3如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EF DC.其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF CF.(1)證明：CF平面MDF； 解析答案 證明因?yàn)镻D平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD AD.又因?yàn)锳BCD是矩形，CD AD，PD與CD交于點(diǎn)D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以AD CF，即MD CF.又MF CF，MD MFM，所以CF平面MDF. (2)求三棱錐MCDE的體積. 返回解析答案 解因?yàn)镻D DC，BC2，CD1， PCD60， 解析答案 返回 押題依據(jù) 高考押題精練1.不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個(gè)平面，內(nèi)，給出以下四個(gè)命題，其中正確的是_.m nm m n m m n 押題依據(jù)空間兩條直線、兩個(gè)平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn).此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識(shí)相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力. 解析 解析構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖所示.因?yàn)锳1C1 AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直.所以，都是假命題.CC1 AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以為假命題.“若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個(gè)平面”是真命題. 押題依據(jù) 2.如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，AD DC，AB DC.(1)求證：D1C AC1；(2)問在棱CD上是否存在點(diǎn)E，使D1E平面A1BD.若存在，確定點(diǎn)E位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.押題依據(jù)空間直線和平面的平行、垂直關(guān)系是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考解答題的熱點(diǎn)，結(jié)合探索性問題考查考生的空間想象能力、推理論證能力，是命題的常見形式. 返回解析答案 (1)證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連結(jié)C1D， DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形， DC1 D1C.又AD DC，AD DD1，DC DD1D， AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1， AD D1C. AD平面ADC 1，DC1平面ADC1，且AD DC1D， D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1， D1C AC1.解析答案 (2)解假設(shè)存在點(diǎn)E，使D1E平面A1BD.連結(jié)AD1，AE，D1E，設(shè)AD1 A1DM，BD AEN，連結(jié)MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MN D1E，又M是AD1的中點(diǎn)，則N是AE的中點(diǎn).又易知ABNEDN， ABDE.即E是DC的中點(diǎn).綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D 1E平面A1BD.返回