第 4講 萬 有 引 力 定 律 及 其 應 用 T3一 、 開 普 勒 運 動 定 律1開普勒第一定律所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的_上一個焦點2開普勒第二定律對任意一個行星來說，它和太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的_面積3開普勒第三定律公轉周期所有行星的軌道的_的三次方跟它的_的二次方的比值都相等，表達式：_.a3k半長軸 【 基 礎 檢 測 】1設有兩顆人造地球衛(wèi)星的質量之比為 m1 m21 2，其運行軌道半徑之比為 R1 R23 1，則兩顆衛(wèi)星運行的周期之比為( )A4 1 B9 1答 案 ： D 二 、 萬 有 引 力 定 律二次方1內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小跟物體的質量 m1 和 m2 的_成正比，與它們之間距離 r 的_成反比3特殊情況兩球心間的距離質點到球心間的距離(1)兩個質量分布均勻的球體間的相互作用，也可用本定律來計算，其中 r 為_(2)一個質量分布均勻的球體和球外一個質點間的萬有引力也適用，其中 r 為_乘積2公式：F_，其中G6.671011 Nm 2/kg2，叫引力常量 【 基 礎 檢 測 】2(2015 年 河 北 保 定 模 擬 )我國實施“嫦娥三號”的發(fā)射和落月任務，進一步獲取月球的相關數(shù)據(jù)如果該衛(wèi)星在月球上空繞月做勻速圓周運動，經(jīng)過時間 t，衛(wèi)星行程為 s，衛(wèi)星與月球中心連線掃過的角度是 1 弧度，萬有引力常量為 G，根據(jù)以上數(shù)據(jù)估算月球的質量是( )答 案 ： B 1第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v1_km /s，v1 是人造地球衛(wèi)星的最小_速度，也是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的_速度發(fā)射最大2第二宇宙速度(脫離速度)：v2_km /s，是使物體掙脫_引力束縛的最小發(fā)射速度地球3第三宇宙速度(逃逸速度)：v3_km /s，是使物體掙脫_引力束縛的最小發(fā)射速度太陽三 、 三 種 宇 宙 速 度 7.911.216.7 【 基 礎 檢 測 】3(2015 年 廣 東 惠 州 二 調(diào) )某同學這樣來計算第一宇宙速與正確的值相差很大，這是由于他在近似處理中錯誤地假設了( )A衛(wèi)星的周期等于地球自轉的周期B衛(wèi)星的軌道是圓C衛(wèi)星的軌道半徑等于地球的半徑D衛(wèi)星的向心力等于它在地面上時所受的地球引力答 案 ： A 考 點 1 萬 有 引 力 定 律 及 其 應 用 重 點 歸 納1解決天體圓周運動問題的兩條思路mg，有 GMgR2(黃金代換)(2)天體運動都可以近似地看成勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供，即 F 引F 向 一般有以下幾種表達形式： 2中心天體質量和密度的計算 .GT2 典 例 剖 析例 1：天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星這顆行星的體積是地球的 4.7 倍，質量是地球的 25 倍已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為 1.4 小時，引力常量 G6.671011Nm 2/kg2，由此估算該行星的平均密度為( )思 維 點 撥 ：由題可知行星密度與地球密度的關系，求出地球的平均密度，就可得到該行星的平均密度根據(jù)近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，可求出地球的密度為地球3A1.8103 kg/m 3 B5.6103 kg/m 3C1.1104 kg/m 3 D2.9104 kg/m 3 答 案 ： D 【 考 點 練 透 】1(2015 年 濱 海 五 校 聯(lián) 考 )若宇航員在月球表面附近自高 h處以初速度 v0 水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為 L.已知月球半徑為 R，萬有引力常量為 G.則下列說法正確的是( ) 答 案 ： D 2(2015 年 浙 江 臺 州 模 擬 )如圖 4-4-1 所示是美國的“卡西尼”號探測器經(jīng)過長達 7 年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行的軌道若“卡西尼”號探測器在半徑為 R 的土星上空離土星表面高 h 的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞 n 周飛行時間為 t，已知萬有引力常量為 G，則下列關于土星質量 M 和平均密度的表達式正確的是( )圖 4-4-1 答 案 ： D 考 點 2 人 造 衛(wèi) 星1人造衛(wèi)星的動力學特征 重 點 歸 納 2人造衛(wèi)星的運動學特征 3衛(wèi)星的環(huán)繞速度和發(fā)射速度發(fā)射速度是指被發(fā)射物在地面附近離開發(fā)射裝置時的初速度，環(huán)繞速度是指衛(wèi)星進入運行軌道繞地球做圓周運動時的線速度發(fā)射速度一定大于環(huán)繞速度近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度是等于第一宇宙速度，即最大環(huán)繞速度，也是最小的發(fā)射速度4同步衛(wèi)星的四個“一定”(1)軌道平面一定，與赤道共面(2)周期(角速度)一定，與地球自轉的周期(角速度)相同(3)到地面的高度一定(4)線速度的大小一定 【 考 點 練 透 】3(多 選 ， 2015 年 廣 東 廣 州 海 珠 區(qū) 檢 測 )如圖 4-4-2 所示，A、B、C 是在地球大氣層外圓形軌道上運動的 3 顆衛(wèi)星，已知mAmBmC，下列說法正確的是( )圖 4-4-2答 案 ： ABA角速度大小的關系是ABC B周期關系是T AFCD向心加速度大小的關系是aAaBaC 考 點 3 衛(wèi) 星 的 在 軌 運 行 和 變 軌 問 題1衛(wèi)星的軌道(1)赤道軌道：衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi)同步衛(wèi)星就是其中的一種(2)極地軌道：衛(wèi)星的軌道過南北兩極，即在垂直于赤道的平面內(nèi)如衛(wèi)星定位系統(tǒng)中的衛(wèi)星軌道(3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道 重 點 歸 納 2衛(wèi)星的穩(wěn)定運行與變軌運行分析(1)圓軌道上的穩(wěn)定運行 (2)變軌運行分析：當衛(wèi)星的速度 v 增大時，所需向心力 m v2 r增大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將脫離原來的圓軌道做離心運動，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進入新的軌道運行，由 v知其運行速度要減小，但重力勢能、機械能均增加而動能減小GMr 當衛(wèi)星的速度 v 減小時，向心力 m v2r減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，衛(wèi)星將脫離原來的圓軌道做向心運動，軌道半徑變小，進入新軌道運行時由 v知運行速度將增大，但重力勢能、機械能均減少而動能增加GMr 典 例 剖 析例 2： (多 選 )我國發(fā)射的“嫦娥二號”探月衛(wèi)星簡化后的路線示意圖如圖 4-4-3 所示，衛(wèi)星由地面發(fā)射后經(jīng)過發(fā)射軌道進入停泊軌道，然后在停泊軌道經(jīng)過調(diào)速后進入地月轉移軌道，經(jīng)過幾次制動后進入工作軌道，衛(wèi)星開始對月球進行探測已知地球與月球的質量之比為 a，衛(wèi)星的停泊軌道與工作軌道的半徑之比為 b，衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道上均可視為做勻速圓周運動，則衛(wèi)星( ) 圖 4-4-3A在停泊軌道和工作軌道運行的速度之比為B在停泊軌道和工作軌道運行的周期之比為C在停泊軌道運行的速度大于地球的第一宇宙速度D從停泊軌道進入地月轉移軌道時，衛(wèi)星必須加速baab 思 維 點 撥 ：由萬有引力提供向心力可以判斷不同軌道的速度、周期之間的關系衛(wèi)星軌道變大時，周期變大，速度(動能)減小，但機械能增大，即需要加速C 錯 誤 ； 要 使 衛(wèi) 星 從 停 泊 軌 道 進 入 地 月 轉 移 軌 道 ， 必 須 使 衛(wèi) 星做 離 心 運 動 ， 即 應 增 加 衛(wèi) 星 的 速 度 ， 選 項 D 正 確 答 案 ： D 備 考 策 略 ：衛(wèi)星的速度增大，應做離心運動，要克服萬有引力做負功，其動能要減小，速度也減小，所以穩(wěn)定后速度減小與衛(wèi)星原來速度增大并不矛盾，這正是能量守恒定律的具體體現(xiàn) 【 考 點 練 透 】4(2015 年 貴 州 一 模 )2013 年 12 月 15 日 4 時 35 分，嫦娥三號著陸器與巡視器分離，“玉兔號”巡視器順利駛抵月球表面如圖 4-4-4 所示是嫦娥三號探測器攜“玉兔號”奔月過程中某階段運動示意圖，關閉動力的嫦娥三號探測器在月球引力作用下向月球靠近，并沿橢圓軌道在 P 處變軌進入圓軌道，已知探測器繞月做圓周運動軌道半徑為 r，周期為 T，引力常量為G，下列說法中正確的是( ) 圖 4-4-4A圖中嫦娥三號探測器在 P 處由橢圓軌道進入圓軌道前后機械能守恒B嫦娥三號攜“玉兔號”繞月球做圓周運動的過程中，“玉兔號”所受重力為零C嫦娥三號經(jīng)橢圓軌道到 P 點時和經(jīng)圓形軌道到 P 點時的加速度不等D由題中所給條件，不可以求出月球的平均密度 解 析 ： 在 P 點 變 軌 前 后 嫦 娥 三 號 都 只 有 引 力 做 功 ， 機 械 能均 守 恒 ， 但 在 變 軌 時 速 度 減 小 ， 機 械 能 減 小 ， 故 A 錯 誤 ； 嫦 娥三 號 攜“玉 兔 號”繞 月 球 做 圓 周 運 動 的 過 程 中 ，“玉 兔 號”所度 ， 故 D 正 確 故 選 D.答 案 ： D 5(多 選 ， 2015 年 河 北 唐 山 模 擬 )如圖 4-4-5 所示，地球衛(wèi)星 a、b 分別在橢圓軌道、圓形軌道上運行，橢圓軌道在遠地點A 處與圓形軌道相切，則( )圖 4-4-5A衛(wèi)星 a 的運行周期比衛(wèi)星 b 的運行周期短B兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過 A 點處時，a 的速度大于 b 的速度C兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過 A 點處時，a 的加速度小于 b 的加速度D衛(wèi)星 a 在 A 點處通過加速可以到圓形軌道上運行 解 析 ： 由 于 衛(wèi) 星 a 的 運 行 軌 道 的 半 長 軸 比 衛(wèi) 星 b 的 運 行 軌道 半 徑 短 ， 根 據(jù) 開 普 勒 定 律 ， 衛(wèi) 星 a 的 運 行 周 期 比 衛(wèi) 星 b 的 運行 周 期 短 ， 選 項 A 正 確 兩 顆 衛(wèi) 星 分 別 經(jīng) 過 A 點 處 時 ， a 的 速度 小 于 b 的 速 度 ， 選 項 B 錯 誤 兩 顆 衛(wèi) 星 分 別 經(jīng) 過 A 點 處 時 ，a 的 加 速 度 等 于 b 的 加 速 度 ， 選 項 C 錯 誤 衛(wèi) 星 a 在 A 點 處 通過 加 速 可 以 到 圓 形 軌 道 上 運 行 ， 選 項 D 正 確 答 案 ： AD 模 型 雙 星 、 三 星 模 型1雙星模型圖 4-4-6在天體模型中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星，如圖 4-4-6 所示 (1)兩星做勻速圓周運動的向心力大小相等，都等于兩者之間的萬有引力(2)雙星具有相同的角速度和周期(3)雙星圓周運動的半徑之和等于雙星間距2三星模型(1)三星在萬有引力作用下繞某中心做勻速圓周運動(2)每顆星的向心力均由另兩顆星對它的萬有引力的合力提供(3)三星具有相同的周期和角速度 例 3：宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們做勻速圓周運動而不會因萬有引力的作用吸引到一起(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質量的反比(2)設兩者的質量分別為 m1 和 m2，兩者相距 L，試寫出它們角速度的表達式 審 題 突 破 ：兩顆天體繞球心連線上同一點做勻速圓周運動的角速度一定相同，它們做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供解 ： (1)證 明 ： 設 兩 者 的 圓 心 為 O 點 ， 軌 道 半 徑 分 別 為 R1m12R1 圖 4-4-7 題 外 拓 展 ：分析多星問題時，除滿足各星的角速度相等以外，還要注意分析各星做勻速圓周運動的向心力大小和軌道半徑 【 觸 類 旁 通 】1美國宇航局利用開普勒太空望遠鏡發(fā)現(xiàn)了一個新的雙星系統(tǒng)，命名為“開普勒-47”，該系統(tǒng)位于天鵝座內(nèi)，距離地球大約 5000 光年這一新的系統(tǒng)有一對互相圍繞運行的恒星，運行周期為 T，其中一顆大恒星的質量為 M，另一顆小恒星質量只有大恒星質量的三分之一已知引力常量為 G，則下列判斷正確的是( )A兩顆恒星的轉動半徑之比為 1 1B兩顆恒星的轉動半徑之比為 1 2C兩顆恒星相距D兩顆恒星相距23 23GMT23 24GMT 答 案 ： C 2宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為 m，半徑均為 R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為 a 的正方形的四個頂點上已知引力常量為 G.關于A四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B四顆星的軌道半徑均為a2 答 案 ： B 例 4：已知地球赤道上的物體隨地球自轉的線速度大小為v1、向心加速度大小為 a1，近地衛(wèi)星線速度大小為 v2、向心加速度大小為 a2，地球同步衛(wèi)星線速度大小為 v3、向心加速度大小為 a3.設近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的 6 倍則以下結論正確的是( ) 易 錯 點 自 轉 和 公 轉 區(qū) 別 不 清 解 析 ： 地 球 赤 道 上 的 物 體 與 地 球 同 步 衛(wèi) 星 是 相 對 靜 止 的 ，有 相 同 的 角 速 度 和 周 期 ， 比 較 速 度 用 v r， 比 較 加 速 度 用 a 2r， 同 步 衛(wèi) 星 距 地 心 距 離 約 為 地 球 半 徑 的 7 倍 ， 則 C 正 確 ；近 地 衛(wèi) 星 與 地 球 同 步 衛(wèi) 星 都 是 衛(wèi) 星 ， 都 繞 地 球 做 圓 周 運 動 ， 向答 案 ： C 指 點 迷 津 ：赤道上的物體隨地球自轉而做勻速圓周運動，由萬有引力和地面支持力的合力充當向心力(或者說由萬有引力的分力充當向心力)，它的運動規(guī)律不同于衛(wèi)星，但它的周期、角速度與地球同步衛(wèi)星相等 【 觸 類 旁 通 】3一物體靜置在平均密度為的球形天體表面的赤道上已知萬有引力常量為 G，若由于天體自轉使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉周期為( ) 解 析 ： 赤 道 表 面 的 物 體 對 天 體 表 面 的 壓 力 為 零 ， 說 明 天 體對 物 體 的 萬 有 引 力 恰 好 等 于 物 體 隨 天 體 轉 動 所 需 要 的 向 心 力 ，答 案 ： D